PROIECT CEEX nr. 05-D11-36/05.10.05

 

Director: Acad. Prof. Dr. Viorel Barbu

  



  Titlul complet al propunerii

  Participanti

  Obiective

  Realizari


1. TITLUL COMPLET AL PROPUNERII

Titlul complet al propunerii si acronimul: ANALIZA SI CONTROLUL SISTEMELOR DIFERENTIALE
Acronimul: ACSD

1.1 Aria tematica 11 STIINTE DE BAZA: MATEMATICA

1.2 Rezumat

Scopul principal al acestui proiect este de a obtine rezultate noi si semnificative in mai multe probleme importante care se afla in linia intii a uneia dintre stiintele de baza: matematica, cu aplicatii in aeronautica, matematici financiare, fizica, biologie, chimie, dinamica populatiilor, stiinta pamintului, pentru a cita numai citeva. Avem in vedere aici stabilizarea si controlul unor clase de sisteme de ecuatii cu derivate partiale de mare utilitate practica precum: Navier-Stokes, ecuatiile magnetohidrodinamicii, parabolice cu restrictii de stare, parabolice cu termen de convectie, sisteme dispersive, cit si studiul unor probleme cu singularitati: Lane-Emden-Fowler cu termen de convectie si termen gradient, sisteme de tip logistic in medii anisotropice. Unele ecuatii stochastice, sisteme de reactie-difuziune, Klein-Gordon si Sine-Gordon vor fi studiate de asemenea. Vom fi interesati in obtinerea unei formulari topologice pentru problemele de control optimal cu restrictii finit-dimensionale cu sau fara interior nevid, cit si de o abordare semigrupala a modelelor de infiltratie incluzind ecuatia lui Richards. In sfirsit, intentionam sa studiem unele proprietati de continuitate ale operatiilor cu operatori monotoni folosind reprezentari cu functii convexe, si sa deducem unele variante ale conditiilor de calificare pentru probleme de optimizare vectoriala care sa se reduca la unele variante ale conditiilor de calificare de tip Mangasarian-Fromovitz si/sau Abadie din cazul functiilor cu valori reale extinse.

2. PARTICIPANTI

Nr.Crt

Denumire completa partener

Denumire prescurtata

Functia in cadrul proiectului

Forma de organizare

Adresa unitatii

Nume si prenume Director/Responsabil proiect

Telefon

E-mail

1

Universitatea Alexandru Ioan Cuza Iasi

UAIC

coordonator

UNI

Iasi, bd. Carol I nr. 11, Iasi 700506

Barbu Viorel

0232211150

vb41@uaic.ro

2

Universitatea Craiova

UC

partener

UNI

Craiova, Alexandru Ioan Cuza, 200585

Niculescu Constantin

0251414398

cniculescu@central.ucv.ro

3

Institutul De Matematica Octav Mayer, Iasi

IMOM

partener

ROR

Iasi, Bd. Carol I, nr.8, 700505

Ursescu Corneliu

0232211150

gmarino@acad.ro

4

Institutul De Statistica Matematica Si Matematica Aplicata Gheorghe Mihoc - Caius Iacob

ISMMA

partener

ROR

Bucuresti, Calea 13 Septembrie 13, 050711

Marinoschi Gabriela

0213182439

gmarino@acad.ro



3. OBIECTIVE

Probleme propuse spre rezolvare legate de situatia actuala a domeniului si a tematicii proiectului:

  1. Stabilizarea si controlabilitatea ecuatiilor Navier-Stokes
  2. Stabilizarea si controlabilitatea sistemelor parabolice cu restrictii de stare
  3. Ecuatii diferentiale stochastice.
  4. O tratare semigrupala a modelelor neliniare de infiltratie.
  5. O alternativa topologica la metoda lui Ekeland.
  6. Stabilitatea schemelor numerice pentru functionale biliniare modificate cu parametri mici.
  7. Probleme de viabilitate si invarianta si aplicatii
  8. Studiul unor clase de probleme logistice cu convectie
  9. Ecuatii singulare Emden-Fowler cu termen gradient; aplicatii in biomatematica
  10. Discretizarea numerica si controlabilitatea sistemelor dispersive
  11. Aplicatii ale convexitatii la studiul unor probleme din fizica matematica si matematica financiara
  12. Solutii speciale ale sistemelor de reactie-difuzie
  13. Continuitatea unor operatii cu operatori monotoni prin utilizarea unor reprezentanti convecsi
  14. Optimizare vectoriala cu multifunctii

Obiective masurabile:

  • Publicarea rezultateleor obtinute in cadrul proiectului
  • Organizarea cu fonduri de la proiectul de fata a trei workshop-uri si a unei conferinte internationale
  • Participarea la manifestari stiintifice din tara si strainatate pentru diseminarea rezultatelor obtinute
  • Schimburi interacademice cu cercetatori romanian si straini
  • Dezvoltarea unor cursuri avansate si a unor teme de doctorat legate de topicile abordate

Conformitatea obiectivelor propuse cu obiectivele programului si prioritatile programului:

  • Tematica proiectului si rezultatele pe care le avem in vedere fac parte din domenii de virf ale matematicii, la nivel international, presupunind o specializare inalta
  • Abordarea si rezolvarea temelor propuse vor avea o mare importanta in ceea ce priveste consolidarea si imbunatatirea imaginii cercetarii matematice romanesti. De asemenea vor avea o contributie insemnata la dezvoltarea resurselor umane
  • Se vor intari si dezvolta legaturile existente cu cercetatori din strainatate si se vor stabili altele noi



4. 
Rezultate obtinute in perioada 2005-2008:

 

Scopul principal al acestui proiect a fost acela de a obtine rezultate noi si semnificative in mai multe probleme importante care se afla in linia intii a uneia dintre stiintele de baza: matematica, cu aplicatii in aeronautica, matematici financiare, fizica, biologie, chimie, dinamica populatiilor, stiinta pamintului, pentru a cita numai citeva. S-a avut in vedere aici stabilizarea si controlul unor clase de sisteme de ecuatii cu derivate partiale de mare utilitate practica precum: Navier-Stokes, ecuatiile magnetohidrodinamicii, parabolice cu restrictii de stare, parabolice cu termen de convectie, sisteme dispersive, cit si studiul unor probleme cu singularitati: Lane-Emden-Fowler cu termen de convectie si termen gradient, sisteme de tip logistic in medii anisotropice. Unele ecuatii stochastice, sisteme de reactie-difuziune, Klein-Gordon si Sine-Gordon au fost de asemenea studiate. Am fost interesati in obtinerea unei formulari topologice pentru problemele de control optimal cu restrictii finit-dimensionale cu sau fara interior nevid, cit si de o abordare semigrupala a modelelor de infiltratie incluzind ecuatia lui Richards. In sfirsit, am studiat unele proprietati de continuitate ale operatiilor cu operatori monotoni folosind reprezentari cu functii convexe, si am dedus unele variante ale conditiilor de calificare pentru probleme de optimizare vectoriala care se reduc la variante ale conditiilor de calificare de tip Mangasarian-Fromovitz si/sau Abadie din cazul functiilor cu valori reale extinse.

Mai jos facem o scurta descriere a rezultatelor obtinute de catre echipa de cercetare a prezentului proiect si indicam articolele realizate in cadrul proiectului.

In cadrul temei Stabilizarea si controlabilitatea ecuatiilor Navier-Stokes au fost elaborate lucrarile [1]-[9] obtinandu-se urmatoarele rezultate:

1) Stabilizarea solutiilor stationare ale ecuatiilor Navier-Stokes folosind controale interne si frontiera. Intr-o serie de lucrari publicate in Indiana University Math.J, Memoires AMS si Nonlinear Analysis s-a aratat ca stabilizarea este posibila prin comenzi feedback finit dimensionale cu suportul in subdomenii arbitrare sau pe frontiera. S-au obtinut de asemenea scheme si simulari numerice.

2) Forma exacta a generatorului infinitesimal al semigrupului de tranzitie(Markov) corespunzator unor clase mai largi de ecuatii stochastice si in particular pentru ecuatia neliniara a undelor, Ecuatii Navier-Stokes, ecuatia magneto-hidrodinamicii, problema de reflexie in spatii Hilbert si pentru inecuatii variationale stochastice in dimensiune finita. In toate aceste cazuri a fost gasita forma preciza a generatorului (operatorul Kolmogorov) si s-a aratrat ca sunt esential m-dissipativi intr-un spatiu L2 asociat unei masuri invariante procesului. Rezultatele au fost publicate in Numerical Funct. Analysis, Comm.Partial Diff.Equations, Nonlinear Analysis

3) Existenta si unicitatea solutiilor ecuatiilor stochastice ale mediilor poroase relevante in dinamica fluidelor si auto organizarea criticalitatii.Aceste rezultate au fost publicate sau sunt in curs de publicare in : Indiana Univ.Math.J., Comm.Math.Physics.

 

Tratarea temei Stabilizarea si controlabilitatea sistemelor parabolice cu restrictii de stare. a inceput printr-un studiu al controlabilitatii si stabilizarii ecuatiilor parabolice liniare si neliniare cu restrictii asupra starii. S-au obtinut o serie de rezultate de baza si s-au exins apoi la cazul ecuatiei dinamicii populatiei depinzand de varsta. S-a continuat cu  problema cea mai importanta, a optimizarii formei suportului controlului stabilizant in cazul unui system de tip reactie-difuzie care descrie dinamica unui system de tip prada rapitor cu raspuns functional de tip Holling II la actiunea rapitorilor:

           

Aici reprezinta densitatea de rapitori care traiesc in habitatul , iar densitatea prazii, care traieste in habitatul ;  este functia caracteristica a multimii .Scopul principal a fost de a  preciza care trebuie sa fie forma optimala a suportului ( sau ) unui control , care sa actioneze fie asupra rapitorilor (control direct) fie asupra prazii, astfel incat sa se stabilizeze cat mai rapid populatia de rapitori la zero. Problema este una de stabilizare cu restrictii de stare.

S-a aratat ca problema de mai sus este strans legata de problema maximizarii autovalorii principale pentru

Aici =sau =(depinzand de care din cele doua probleme de mai sus ne ocupam). S-a evaluat derivata autovalorii principale in raport cu o deformare a suportului (si cu anumite restrictii asupra acestuia). Acest rezultat permite aproximarea formei optimale a suportului controlului stabilizant in cazul unor diverse restrictii asupra suportului controlului stabilizant. In demonstrarea acestui rezultat s-au folosit tehnici de optimizarea formelor. Utilizand tehnici de rearanjare am gasit o legatura intre forma lui  si cea a suportului controlului stabilizant optimal. Aceste rezultate sunt cuprinse in lucrarile [10], [11], [12].

 

 

Lucrarile [13],[14] studiaza o ecuatie eliptica in forma variationala ca model pentru tijele curbate subtiri. Mai précis, modelul revine la o ecuatie eliptica in forma variationala (x,v) =(f,v) pentru  orice  v din V ,unde  V  este un spatiu Hilbert,    este o forma biliniara pe  VxV , iar  d  reprezinta diametrul sectiunii transversale a tijei. Forma    depinde de sistemul de versori corespunzator fiecarui punct, adica de 9 functii necunoscute date de normala, tangenta si binormala. Drept urmare,  forma biliniara   are o expresie complicata din punct de vedere matematic si deci al expresiei sale in programele de calculator. Forma    se aproximeaza cu o dezvoltare dupa puterile lui d, deoarece discretizarea Galerkin necesita o modificare fina a formei biliniare corespunzatoare pentru a evita fenomenul de "locking" numeric. Acesta se produce atunci cind  d are acelasi ordin de marime cu parametrul  h  al discretizarii. Modificarea respectiva a permis stabilirea convergentei aproximarii. Programele corespunzatoare pentru metoda elementului finit realizate anterior in cadrul unui program de cooperare stiintifica la Institutul Weierstrass din Berlin au fost complet adaptate pentru PC cu sistemul de operare Linux si s-au realizat noi teste numerice pentru problema de “locking” numeric. Ulterior modelul a fost adaptat la modelarea pe termen lung a dezvoltarii unei populatii dependenta de virsta si timp. Fie p(a,t) densitatea unei populatii care depinde de virsta a si de timpul t. Modelul este neliniar si include un termen logistic. Aproximarea numerica confirma rezultatul matematic de ergodicitate in sensul ca evolutia in timp p(0,t) nu depinde de conditia initiala p(a,0) = p0(a).In adevar, pentru t suficient de mare populatia p(0,t) se stabilizeaza numeric la aceleasi valori indiferentde alegerea datei initiale p0. Rezultatele au fost prezentate in comunicarea intitulata "Numerical results for an age-dependent population model with logistic term", care a fost prezentata la International Exploratory Workshop "Differential Equations and Applications in Life Sciences", Iasi, 3-7 septembrie 2008.

 

Temei Probleme de viabilitate si invarianta si aplicatii ii corespund lucrarile [15]-[21], [33], [34]. Astfel, in [33] s-a stabilit un rezultat general de viabilitate pentru ecuatii diferentiale abstracte, infinit-dimensionale. Din acest rezultat s-a dedus existenta solutiilor pozitive pentru probleme pseudo-parabolice semi-liniare in ipoteze standard asupra datelor. In [20], Sectiunea 13.1 si in [18], utilizand tehnici de viabilitate, am demonstrat o conditie necesara si suficienta de existenta a solutiilor ortogonale pentru un sistem de ecuatii hiperbolice de ordinul intai, semiliniare. Aplicatii ale teoriei viabilitatii la obtinerea unor rezultate calitative (rezultate de comparatie, etc.) pentru sisteme de reactie-difuzie au fost obtinute in [34]. In [16] a fost introdus conceptul de multime tangenta intr-un punct la multime, cat si cel de multime A-tangenta si respectiv A-cvasi-tangenta, cu A generator de semigrup de clasa C0 si au fost stabilite conditii necesare si suficiente de viabilitate a unei multimi in raport cu o incluziune diferentiala (de evolutie). Ca aplicatie, a fost demonstrata o conditie suficienta de nula controlabilitate a unui sistem semilinear. Cazul neliniar a fost studiat in [21], unde a fost introdus conceptul de multime A-tangenta cu A operator neliniar, si s-au stabilit conditii si necesare si suficiente de viabilitate, exprimate prin intermediul acestui nou concept. Tot aici, a fost extins la cazul complet neliniar rezultatul de nula controlabilitate din cazul semiliniar din [16]. In [17] a fost stabilit un rezultat de invarianta pentru ecuatii de evolutie neliniare perturbate, iar in [18], utilizand tehnici de viabilitate, s-a demonstrat o conditie necesara si suficienta de existenta a solutiilor ortogonale pentru un sistem de ecuatii hiperbolice de ordinul intai, semiliniare. In sfarsit, in [19], a fost facuta o trecere in revista  rezultatelor de viabilitate obtinute prin intermediul multimilor tangente si au fost demonstrate mai multe aplicatii noi dintre care mentionam cea referitoare la existenta solutiilor in multimi dependente de timp. Ca aplicatii ale unora dintre rezultatelor anterioare, am obtinut  in lucrarea [15] rezultate noi de controlabilitate pentru ecuatia caldurii in cazul in care multimea de controale admisibile este formata din functii mai netede decit cele ce formeaza spatiul in care se modeleaza ecuatia. Binecunoscutul efect regularizant permite obtinerea unor astfel de rezultate. In aceasta situatie functia timp optimal asociata este local Holder continua, cu un exponent ce se determina in mod precis. Se obtin de asemenea si rezultate privind estimarea energiei minime. O  analiza atenta a conditiilor in care se lucreaza  arata ca rezultatele noastre generalizeaza pe cele obtinute  de Petrov. Acesta a stabilit, in anii 1980, conditii necesare si suficiente ca functia timp optimal asociata unor sisteme neliniare finit dimensionale  sa fie local lipschitziana. O alta problema abordata a fost aceea a stabilirii unor estimari pentru energia minima la timp fixat pentru sistemele  de control considerate. S-a demonstrat ca estimarea energiei minime este echivalenta cu estimarea timpului optimal, extinzandu-se astfel unele rezultate anterioare ale noastre  din cazul liniar. Se obtin astfel estimari precise ale explodarii pentru timpi mici a energiei minime consumate. S-au obtinut de asemenea rezultate interesante legate de controlabilitatea ecuatiei caldurii cu controale mai netede decit elementele spatiului de functii in care se modeleaza problema de control.

 

In cadrul temei Probleme de optimizare multicriteriala au fost elaborate lucrarile [22], [23], [24]. In lucrarea [22] initiem studiul unor proprietati de regularitare ale problemelor de optimizare vectoriala in raport cu notiuni similare pentru probleme scalare intens studiate in ultimii 15 ani. Folosind o functie de scalarizare, sunt stabilite mai multe relatii intre cele doua seturi de proprietati iar acest lucru permite deducerea (pe baza rezultatelor existente in cazul scalar) regularitatii catorva programe vectoriale neconvexe.  In lucrarea [23], sunt obtinute unele reguli de calcul (in general pentru suma si compunere) pentru derivata Bouligand a multifunctiilor. Derivata Bouligand a unor multifunctii perturbate este de asemenea considerata. Cadrul studiului din aceasta lucrare il reprezinta spatiile Banach generale iar conditiile de calificare utilizate sunt printre cele mai generale din literatura. In lucrarea [24] este abordata urmatoarea problema: in ce conditii se poate construi o multifunctie care sa fie inferior semicontinua pornind de la o multifunctie data. In plus, suntem interesati in a putea cuantifica “distanta” dintre multifunctia regularizata si multifuctia initiala. Procedura de regularizare obtinuta presupune un dublu proces de trecera la limita si permite obtinerea unor aplicatii utile in teoria inegalitatilor variationale si inteoria optimizarii.

 

Tema Controlabilitatea ecuatiilor magnetohidrodinamicii  a fost abordata in lucrarile [25]-[29]. S-a studiat controlabilitatea interna a ecuatiilor Navier-Stokes (care descriu  curgerea fluidelor vascoase si incompresibile) si a ecuatiilor magnetohidrodinamicii (care guverneaza miscarea fluidelor vascoase, incompresibile si bune conducatoare de electricitate in camp magnetic). S-a urmarit atingerea unor solutii-tinta cat mai putin regulate printr-o actiune a controlului exercitata asupra unui subdomeniu spatial oricat de mic. S-au obtinut rezultate de controlabilitate exacta locala pentru ecuatiile Navier-Stokes cu conditii de tip Navier („cu alunecare”) la frontiera in domenii bi- si tridimensionale (vezi lucrarile [25] si [26]), precum si pentru ecuatiile magnetohidrodinamicii in domenii bi- si tridimensionale marginite cu frontiera perfect conducatoare (vezi [25], [28] si [29]). Controlabilitatea exacta locala pentru ecuatiile neliniare a fost redusa la controlabilitatea exacta globala pentru ecuatiile liniarizate (in jurul solutiilor-tinta) prin intermediul unei versiuni infinit-dimensionale a teoremei de inversare locala. Controlabilitatea exacta globala pentru ecuatiile liniarizate rezulta din inegalitati de observabilitate pentru ecuatiile adjuncte cu ajutorul unor probleme de minimizare (control optimal) auxiliare. Calea obisnuita pentru obtinerea inegalitatatilor de observabilitate este de a le deriva din estimari de tip Carleman pentru aceleasi ecuatii. Estimarile Carleman sunt estimari a priori ponderate care depind de unul sau mai multi parametri. Efortul nostru principal a fost indreptatin spre obtinerea estimarilor Carleman potrivite pentru ecuatiile liniarizate adjuncte cu aceleasi conditii la frontiera ca si ecuatiile originare controlate. Aceste estimari au fost obtinute tot in lucrarile [25] – [29]. Pentru obtinerea lor s-au folosit, printre altele, formule de tip Green, teoremele de scufundare ale lui Sobolev si inegalitati de interpolare.

 

 

In cadrul temei Continuitatea unor operaţii cu operatori monotoni prin utilizarea unor reprezentanţi convecşi ne-am pus problema studierii convergenţei bounded Hausdorff", bH, a şirurilor de operatori maximal monotoni pe spaţii Banach reflexive. Unele rezultate in aceasta direcţie au fost obţinute de autorii H. Attouch, A. Moudafi, H. Riahi (1993), T. Pennanen, J. Revalski, M. Théra (2003). Demonstraţiile lor se bazează pe utilizarea aproximantelor Yosida ale operatorilor in discuţie. Pentru a studia aceasta problema asociem unui operator maximal monoton    o funcţie    prin    unde    pentru    şi    pentru    iar    Are loc faptul că  .  Să observăm că funcţia    este asemănătoare cu funcţia lui Fitzpatrick. Utilizând rezultate recente ale lui J.-P. Penot şi C. Zălinescu se obţine următoarea proprietate importantă:

 Propozitie. Fie    pentru   . Atunci    dacă şi numai dacă   .

Utilizând acest rezultat obţinem

 Teorema Fie   ,    astfel încât   ,    şi    astfel încât  . Presupunem că  . Atunci    şi    (pentru    mare) sunt maximal monotoni şi   .

Remarcăm ca prin acest rezultat răspundem şi unei probleme deschise pusă de către T. Pennanen, R.T. Revalski, M. Théra (Proc. Am. Math. Soc. 131 (2003), 3721--3729). Rezultatele sunt publicate în lucrarea [35]. Am continuat studiul operatorilor monotoni in spatii Banach. In acest senss-a introdus o noua clasa de operatori monotoni pe care i-am numit tare reprezentabili (SR). Am reobtinut un rezultat recent stabilit de catre Marques Alves si Svaiter care afirma ca orice operator tare reprezentabil este maximal monoton. In plus  am pus in evidenta o estimare utila a distantei de la un punct din spatiul produs X x X*   la graficul operatorului utilizind un reprezentant tare. Aceasta ne-a permis sa obtinem cu usurinta ca inchiderile domeniului si imaginii unui operator SR sunt convexe; avind in vedere faptul ca orice operator NI este SR, prin acest rezultat extindem rezultatul central al unei lucrari recente a lui D. Zagrodny care urmeaza sa apara in Set-Valued Analysis. In cazul in care conditii (uzuale) de calificare sunt satisfacute am aratat ca suma a doi operatori SR precum si compunerea unui operator SR cu un operator liniar si continuu sunt SR. Aceasta ne-a permis sa obtinem ca orice operator SR este maximal monoton local (sau de tip FPV). De asemenea  am aratat ca orice operator SR este local maximal monoton (adica de tip FP) si de asemenea ca orice operator SR este tare maximal monoton. In plus orice operator SR este si de tip ANA. Aceste rezultate sunt cuprinse in lucrarea [36].

 

Lucrarile [31], [32], [37] corespund temei Ecuatii diferentiale stochastice.  In analiza neliniara functia Fitzpatrick  atasata unui operator maximal monoton a condus la demonstratii elegante pentru diverse proprietati ale opeatorilor maximali monotoni. Folosindu-ne de reprezentarea Fitzpatrick  reducem problema existentei solutiei unei ecuatii diferentiale stochatice guvernata de un operator maximal monoton la minimizarea unei functii convexe si semicontinua inferior.

 

(A).  Am continuat studiul problemei Skorohod generalizate

 unde  este subdiferentiala Frechet subdifferential a unei functii  semiconvexe si i.s.c.  . Dupa rezultatul determinist obtinut in 2007 s-a obtinut un rezultat de existenta si unicitate pentru ecuatis diferentiala stohastica

generalizandu-se rezultatul classic cunoscut al lui Pierre-Louis Lions & Alain-Sol Sznitman, Stochastic differential equations with reflecting boundary conditions, Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), no. 4, 511--537.

Am demnstrat, utilizand proprietati ale problemei regularizate, ca ecuatia are o solutie slaba. Cum ecuatia are proprietatea de unicitate tare, atunci se obtine existenta din teorema lui Ikeda &Watanabe

(B) Am studiat de asemenea existenta si unicitatea solutiei ecuatiei diferentiale stohastice cu operator subdiferential

Rezultatul obtinut generalizeaza rezultatelr din Our results generalize those of E. Pardoux and A. Răşcanu (Stochastic Processes and their Applications 76, 1998) la cazul in care functia F satisface o conditie de crestere subliniara in raport cu y.

 

Tema Aspectele matematice induse de neliniaritatea ecuatiilor de difuzie cu termeni de convectie in medii poroase este tratata in lucrarile [38]-[43]. Mai precis, s-au studiat proprietatile solutiilor unor anumite tipuri de ecuatii de difuzie in care coeficientul de difuzie si termenul de convectie sunt functii neliniare si discontinue de solutie, posibil singulare. Teoria matematica a fost dezvoltata in cadrul teoriei ecuatiilor de evolutie cu operatori neliniari m – acretivi multivoci in spatii Hilbert.

In particular, aceste ecuatii pot aparea in stiintele solului si descrie procesul de infiltratie a apei in soluri saturate-nesaturate neomogene, caracterizate de proprietati hidraulice neliniare, dar in general, sunt adecvate pentru modelarea dinamicii diverselor fluide in materiale poroase, precum si a proceselor fizice de difuzie ce intervin in biologie.

Modelul general este reprezentat de

 (1)                                                                

    (2)                                   ,

cu diferite conditii la limita.

Ipoteze.

Presupunem ca functia neliniara    este multivoca si definita prin

(3)                                                                                                      continua pe  , si 

Functia    este continua, pozitiva si explodeaza in

.

Vectorul    are in general componente pozitive si marginite.

In lucrarea [38] din bibliografie s-au demonstrat teoreme de existenta si proprietatile solutiei pentru modelul (1)-(2) cu , si diferite conditii la limita, pentru cazul general cu coeficientii  si  discontinui. Mai intai s-a studiat existenta solutiei pentru o problema aproximativa si apoi s-a dedus existenta solutiei originale prin rezultate de compacitate si printr-o tehnica de trecere la limita. Rezultatele teoretice au fost ilustrate prin  aplicatii numerice care descriu o problema reala a infiltratiei apei in soluri neliniare.

 

In lucrarea [39]  s-a studiat o schema implicita pentru solutia cu diferente finite a  sistemului parabolic neliniar (1)-(2) cu  si conditii Robin pe frontiera. S-a demonstrat stabilitatea si convergenta schemei punandu-se in evidenta natura convergentei in acest caz specific si s-a calculat eroarea. Scopul acestei metode este acela de a simplifica calculul solutiilor ecuatiilor de acest tip fara a efectua o aproximare a functiei multivoce. Teoria a fost ilustrata prin rezultate numerice.

In lucrarea [40] s-a studiat modelul (1)-(2) degenerat cu conditii Dirichlet omogene pe frontiera si cu m functie de x, care in plus se anuleaza pe o submultime a lui . S-au stabilit existenta, unicitatea si alte proprietati ale solutiei.

In lucrarea [41 ne-am ocupat de studiul solutiilor periodice ale modelului degenerat de difuzie rapida, din [40]. S-a demonstrat existenta solutiei periodice pentru o problema intermediara restrictionata la o perioada T, cu ajutorul unei teoreme de punct fix, dupa care rezultatul a fost extins prin periodicitate la spatiul de timp real. S-a mai demonstrat ca solutia corespunzatoare oricarei stari initiale tinde pentru timp mare la solutia periodica care este unica.

In lucrarea [42] transpunand modelul general (1)-(2) intr-un cadru functional adecvat s-a ajuns la o problema Cauchy cu un operator nemarginit, multivoc, dependent de timp. Existenta si unicitatea solutiei a fost obtinuta pe baza unor rezultate similare demonstrate pentru o problema aproximativa asociata, utilizand un rezultat de tip Kato pentru ecuatii neliniare de evolutie cu operatori m-acretivi.

In lucrarea [43] s-a studiat  un model constand intr-un sistem de ecuatii cu derivate partiale parabolic-hiperbolic cu coeficienti discontinui, cu date si surse pe frontierele interioare, frontiere ce separa straturi cu structuri diferite. In aceasta lucrare, folosind tehnici de m-acretivitate si teoreme de punct fix s-a aratat ca in anumite conditii de regularitate problema este bine pusa.

 

Lucrarile [44]-[48] studiaza tema Ecuatii eliptice neliniare. Astfel, studiul unei clase de probleme neliniare cu conditie Dirichlet pe frontiera si continand un operator diferential neomogen face obiectul lucrarii [60] din lista de publicatii de mai jos. Principalul rezultat este detectarea unui fenomen de concentrare a spectrului, neasteptat daca ne gandim la teoria similara pentru operatorul lui Laplace. Se arata ca orice numar dintr-o anumita vecinatate a originii este valoare proprie si se stabileste o conditie suficienta astfel incat orice numar pozitiv sa fie valoare proprie. Metodele de demonstratie folosesc tehnici de analiza neliniara si calcul variational in spatii Orlicz-Sobolev. Clasele de operatori diferentiali studiate in aceasta lucrare isi gasesc aplicabilitatea in studiul fluidelor electroreologice (fluide inteligente de tip ne-Newtonian) sau in reconstructia imaginilor.

Analiza efectului unei perturbari superliniare intr-o problema eliptică neliniara de valori proprii este analizat in lucrarea [61] din listă.  Problema de bifurcatie asociata este analizata calitativ si exhaustiv.

In [56] studiem problema Dirichlet  in , u = 0 pe , unde  este un domeniu neted si marginit din RN iar  este un operator de tip p(x)-Laplace, cu . Se demonstreaza ca daca  este suficient de mare atunci exista cel putin doua solutii slabe nenegative. Abordarea noastra se bazeaza pe teoria spatiilor Lebesgue–Sobolev cu exponenti variabili, combinata cu o varianta a Lemei Mountain Pass.

Lucrarea [58] prezintă rezultate calitative legate de existenţa, unicitatea şi comportamentul asimptotic al soluţiilor pentru două clase de probleme neliniare: ecuaţii de tip logistic, cu soluţii cu explozie la frontieră si ecuaţii neliniare cu termen singular şi termen de convecţie. Metodele de studiu au la bază principiul de maxim şi teoria lui Karamata a funcţiilor cu variaţie regulată la infinit. Sunt studiate diverse clase de probleme de bifurcaţie asociate, precum şi regularitatea optimală a soluţiilor.

Tema Discretizarea numerica si controlabilitatea sistemelor dispersive este studiata in articolele [44]-[48]. Problema controlabilitatii ecuatiei undelor liniara a fost intens studiata si rezolvata cu mult timp in urma. Dimpotriva, tema aproximarii controlului ecuatiei undelor a cunoscut o atentie deosebita si o dezvoltare pe masura abia in ultimii ani. In multe cazuri, ca de exemplu la utilizarea diferentelor finite si a elementelor finite clasice, datorita discretizarii numerice apare un fenomen de dispersie care face ca unele unde de frecventa inalta sa se deplaseze cu o viteza din ce in ce mai mica. Acest lucru afecteaza proprietatea de controlabilitate, prin necesitatea considerarii unui timp de control care creste cu pasul de discretizare si care devine in acest fel la limita infinit. Pentru recuperarea unui timp uniform de controlabilitate trebuiesc folosite tehnici speciale. Astfel, se pot utiliza  elemente finite mixte, in care sunt folosite baze de functii diferite pentru aproximarea pozitiei si vitezei. De asemenea, se pot introduce termini disipativi in ecuatia discreta care sa diminueze efectul frecventelor numerice inalte. In articolele nostre [44], [45], [48], consideram ecuaţia undelor liniara in dimensiunile unu şi doi şi analizam aceste doua metode de discretizare în spaţiu. Demonstram ca se  asigura convergenţa sirurilor de controale discrete intr-un timp uniform si oferim diferite simulari numerice ilustrative.

Studiul proprietăţilor de controlabilitate ale unor sisteme dispersive de tip Boussinesq sau Korteweg-de Vries: Studiul sistemele complexe, cuprinzând mai multe ecuaţii de acelaşi tip sau de tipuri diferite, este unul extrem de important. Aceste sisteme modelează fenomene reale, care nu se pot descrie prin ecuaţiile clasice ale fizicii matematice. Ecuaţiile dispersive modelează, de exemplu, propagarea undelor de amplitudine mică pe suprafaţa unui lichid ideal în canale uniforme. Probleme de control al ecuaţiilor dispersive au fost studiate de exemplu de Rosier, L., Exact boundary controllability for the Korteweg-de Vries equation on a bounded domain, ESAIM: COCV, 2 (1997), 33-55 sau  Micu S., On the controllability of the linearized Benjamin-Bona-Mahony equation, SIAM J. Cont. Optim 39, 6(2001), 1677-1696. Sistemele de astfel de ecuaţii dispersive sunt mai complexe şi au fost studiate mai puţin. Menţionăm lucrarile Bona J. L., Chen M., Saut J.-S., Boussinesq equations and other systems for small-amplitude long waves in nonlinear dispersive media. I: Derivation and linear theory, J. Nonlinear Sci., 12 (2002), 283-318 si J. A. Gear şi R. Grimshaw : Weak and strong interactions between internal solitary waves, Studies in Appl. Math. 70 (1984) 235-258. Am considerat sistemele dispersive de tip Boussinesq [47] sau Kortewg-de Vries [46] introduse in cele doua lucrari si am demonstrat proprietati de controlabilitate sau stabilizabilitate folosind controale frontiera sau interioare. Pentru studiul sistemelor liniare s-au folosit tehnici Fourier, spectrale sau multiplicatori iar trecerea la probleme neliniare s-a facut prin folosirea unor teoreme de punct fix. Pentru sistemele neliniare s-a demonstrat controlabilitatea datelor initiale sufficient de mici.

 

Obiectivul de cercetare O tratare semigrupala a modelelor neliniare de infiltratie este considerat in lucrarile [49]-[55]. Un rol important in studiul problemelor semilineare il au semigrupurile tare continue. În lucrarea [50] demonstrăm că uniform exponenţial stabilitatea unui semigrup tare continuu T = {T(t)}_{t≥0} (care acţionează pe un  spaţiu Hilbert complex H) se poate deduce ca o consecinta a comportamentului range-ului său numeric într-un spaţiu Orlicz convenabil. Mai precis, presupunând că există un spaţiu Orlicz  peste R+ astfel că

 

si

atunci

T )

 

pentru un anume număr strict pozitiv . Cazul când E este un spaţiu  a fost studiat anterior de G. Weiss în lucrarea sa Weak L^{p}-stability of linear semigroup on a Hilbert space implies exponential stability, J. Diff. Eqns., 76 (1988), 269-285. Ca aplicaţie la generalizarea de faţă, se arată că o anume problemă Cauchy în timp infinit este corect pusă.

Fie U={U(t,s): t≥s≥0} o familie de  evoluţie exponenţial mărginită pe spaţiul Banach E, cu proprietatea că pentru orice xX şi orice s≥0 aplicaţia  t→||U(s+t,s)x|| este continuă pe (0,∞). In lucrarea [51] se arata ca familia U este uniform exponenţial stabilă dacă şi numai dacă există două  constante strict pozitive  şi C, precum şi o funcţie  crescătoare  [0,∞)→[0,∞) astfel că  şi

   pentru orice t,s≥0 si xE.

Corespondentul acestui rezultat pentru semigrupuri reprezintă analogul ergodic al unui celebru criteriu de uniform exponenţial stabilitate al lui S. Rolewicz (expus în cartea sa, Functional Analysis and Control Theory, D. Riedel and PWN-Polish Scientific Publishers, Dordrecht-Warszawa, 1987):

Fie  [0,∞)→[0,∞) o funcţie  crescătoare astfel că  şi fie T = un semigrup exponential marginit de operatori lineari si continui pe spatial Banach E. Atunci T este exponenţial stabil dacă şi numai dacă există un număr astfel încât

 

               for all

 

Contribuţiile relative la analiza convexă privesc in principal doua aspecte: extensia teoriei lui Choquet şi stabilirea unui analog infinit dimensional a proprietatii de convexitate in sens Schur a sirului valorilor proprii ataşat unui operator compact si autoadjunct. Astfel, in lucrarea [49] din lista se descrie o generalizare a teoriei lui Choquet in cazul operatorilor L strict eliptici autoadjuncţi de ordinul 2 (pe un domeniu deschis şi mărginit ),  care admit o funcţie Green  Dacă  pentru un anume  atunci o condiţie necesară şi suficientă pentru ca să aibă loc inegalitatea

 

pentru orice  cupe  este ca soluţia problemei Dirichlet

 

să fie  pe .

Spre exemplu, in cazul când din RN şi , putem alege ponderea ,  căci solutia ultimei probleme Dirichlet este , pe .

            Extensia teoriei lui Choquet (vezi R. R. Phelps, Lectures on Choquet's Theorem, D. van Nostrand Company Inc., Princeton, 1966) la cazul spaţiilor metrice compacte care au curbură globală nepozitivă face obiectul lucrarii [55]. Ea permite redemonstrarea extensiei teoremei Krein-Milman la acelasi cadru (demonstrata de noi cu o alta metoda in lucrarea [53]) si complementeaza extensia inegalităţii lui Jensen din lucrarea: K. T. Sturm, Probability measures on metric spaces of nonpositive curvature. In vol.: Heat kernels and analysis on manifolds, graphs, and metric spaces (Pascal Auscher et al. editors). Lecture notes from a quarter program on heat kernels, random walks, and analysis on manifolds and graphs, April 16--July 13, 2002, Paris, France. Contemp. Math. 338 (2003), 357-390.

In acest mod rezultă o amplă extensie a inegalităţii Hermite-Hadamard (vezi C. P. Niculescu and L.-E. Persson, Convex Functions and their Applications. A Contemporary Approach, CMS Books in Mathematics vol. 23, Springer-Verlag, New York, 2006) la cazul spaţiilor cu geometrie curbă. Articolul [56] extinde la un cadru infinit dimensional proprietatea clasică de convexitate a lui Schur. Sunt avuti în vedere operatorii autoadjuncti pe spaţiile Hilbert si sunt oferite numeroase exemple, legate în special de problema Sturm-Liouville, ecuaţia neliniară a lui Schrodinger etc.

Un mod subtil de interventie a inegalitatilor in deducerea unor rezultate matematice este oferit de proprietatea de absolut continuitate. Ideea de bază este aceea de a controla comportamentul unei funcţii f:X→R (în raport cu o pereche de funcţii p,q:X→R) în situaţia când o estimare de forma  este banală, iar una de forma  este prea speciala. Astfel se optează pentru estimări de forma

 

|f| ≤ ε q + δ(ε) p,  pentru orice ε>0,

 

Conceptul de absolut continuitate este inspirat din teoria măsurii, şi a fost extins la forma de faţă de Niculescu în anii 70. Lucrarea [52] ilustreaza utilitatea noţiunii de continuitate absolută într-o serie de domenii ale matematicii precum analiza funcţională, teoria aproximării şi ecuaţiile cu derivate parţiale.

 

În cadrul obiectivului, O alternativa topologica a metodei lui Ekeland s-a elaborat lucrarea [62] unde s-a observat ca proprietatile diferentiale ale functiei implicite  generate de ecuatia integrala

sunt identice cu proprietatile tangentiale ale multimii de nivel a functiei explicite

                                           

Aceasta particularitate a teoriei ecuatiilor diferentiale este expresia unui rezultat mult mai general care, pentru o multifunctie  actionand intre doua spatii vectoriale topologice si  precum si pentru un punct  din spatiul produs vectorial , stabileste relatia de incluziune de tip Lyusternik

                                                 ; 

aceasta leaga proprietatile -tangentiale, in punctual  ale multimii de nivel  a multifunctiei de multimea de nivel a multifunctiei associate , multifunctie asociata dupa o regula foarte simpla a lui Aubin, si anume

                                            

Pentru ca incluziunea precedenta sa aiba loc trebuie ca notiunea de tangenta  sa indeplineasca unele conditii standard, conditii indeplinite de notiunile de tangenta de tip Bouligand – Severi si de tip Clarke. Apoi, multifunctia sa aiba proprietati de deschidere care sunt indeplinite in cazul in care multifunctia este generata de operatorii integrali considerati in initial.

            Reamintim ca o multifunctie , actionand intre doua spatii topologice se numeste deschisa intr-un punct daca pentru fiecare vecinatate a punctului exista o vecinatate a punctului  astfel incit . Multifunctia se numeste deschisa pe o submultime daca este deschisa in orice punct . Notiunea clasica de multifunctie deschisa poate fi redefinita astfel: mul­ti­func­tia se numeste deschisa daca este deschisa pe multimea  .

            Notiunile precedente pot fi reformulate folosind pentru fiecare punct o familie fundamentala de vecinatati , iar pentru fiecare punct  o familie fundamentala de vecinatati . Notiunile precedente pot fi rafinate in cazul in care spatiile topologice si sunt spatii uniforme. In acest caz, spatial uniform este inzestrat cu o familie de anturaje , caz in care familia  este o familie fundamentala de vecinatati a punctului . Acelasi lucru se intampla in cazul spatiului uniform , astfel ca deschiderea multifunctiei intr-un punct inseamna ca pentru fiecare anturaj pe exista un anturaj pe astfel incat are loc incluziunea de deschidere. Rafinarea de care am amintit apare in cazul deshiderii multifunctiei pe o multime . In acest caz, pentru fiecare punct si pentru fiecare anturaj pe exista un anturaj pe astfel incat are loc incluziunea de deschidere mentionata. Posibilitatea de a alege anturarajul independent de punctual multimii este sintetizata in expresia multifunctia este uniform deschisa pe multimea . Mai departe, o multifunctie care este deja deschisa, se numeste local uniform deschisa daca pentru fiecare punct  exista o vecinatate a lui astfel incat este uniform deschisa pe multimea .

            In lucrearea [61] din bibliografie, notiunile uniforme precedente, cunoscute si studiate in literature, sunt rafinate inca o data in cazul in care spatiile uniforme si sunt spatii vectoriale topologice. In acest caz, anturajele pe sunt inlocuite de vecinatatile originii spatiului vectorial . Acelasi lucru se intampla in cazul  spatiului uniform , astfel ca deschiderea multifunctiei intr-un punct inseamna ca pentru fiecare vecinatate a originii din exista o vecinatate a originii din astfel incat are loc incluziunea de deschidere. Rafinarea suplimentara consta in considerarea incluziunii particulare  unde . Pe aceasta particularitate se bazeaza notiunile, definite si studiate pentru prima oara, de deschidere liniara int-un punct, uniform deschidere liniara pe o multime, precum si local uniform deschidere liniara. Utilitatea lor consta in deducerea incluziunilor tangente mentionate precum si in faptul ca sunt indeplinite de operatorii integrali care furnizeaza solutiile unei ecuatii diferentiale. Legatura acestor notiuni cu notiunile metrice de regularitate, fundamentate pe principiul essential metric al luiEkeland, completeaza studiul publicat.

 

 

 

 

În cazul obiectivului, Soluţii speciale pentru sisteme de reacţie difuzie, s-au studiat anumite probleme parabolice ce au rezultat în urma modelării matematice a unor procese biologice. În lucrarea [63] din bibliografie s-a studiat existente soluţiilor de tip undă călătoare. Printre modelele matematice considerate este şi aşa-numitul sistem de tip FitzHugh-Nagumo “cu prag mic de reacţie”, mai precis

                       

Este bine ştiut că în cazul soluţiilor de tip undă călătoare apar două regiuni (“panta” de urcare şi cea de coborâre) unde variabila “rapidă” îsi modifică abrupt starea de la factor stimulator al sistemului la factor stimulat şi viceversa. Aceste două regiuni au aceeaşi “viteză de propagare”. Luând în considerare acest fapt se construieşte o soluţie de tip undă călătoare pentru problema (1) determinându-se şi viteza ei de propagare dată de formula

                               

O altă problemă considerată este cea a modelelor de tip parabolic-degenerat ce descriu diverse fenomene chemotactice. Un prim model studiat este o versiune particulară a modelului matematic propus de E. Keller şi L.A. Segel cu un termen adiţional de reacţie ce apare în prima ecuaţie a sistemului:

                           

Acest model a fost propus pentru a descrie fenomenul  de agregare spaţială a unui organism celular în direcţia zonelor de concentraţie maximă a unei substanţe chimice. Variabila  reprezintă densitatea celulelor, iar cu  s-a notat concentraţia substanţei chimice la momentul t şi poziţia în spaţiu .

Cele mai multe rezultate pentru astfel de modele matematice se referă la problema existenţei globale versus “explozia” în timp finit. Ambele comportări ale sistemului depind de datele iniţiale şi de dimensiunea spaţiului.

Sistemul (1) s-a studiat în ipotezele şi . Acest sistem a mai fost considerat anterior (M. Rascle, 1979), obţinându-se existenţa globală a soluţiilor clasice în cazul 1-dimensional. Ulterior, în lucrări mai recente (2004, 2005, L. Corrias, B. Perthame and H. Zaag) s-a demonstrat existenţa soluţiilor slabe pentru spaţii de dimensiune mai mare ca 1 atunci când .

Rezultatele obţinute în cadrul acestui proiect se referă la existenţa globală a soluţiilor clasice în cazul 2-dimensional precum şi comportarea asimptotică a acestora. Menţionăm aici aceste rezultate:

Teorema 1. Fie  şi un domeniu cu frontiera de clasă . Dacă  atunci problema (2) admite o soluţie unică nenegativă .

Teorema 2. Dacă există o constantă astfel încât pentru orice xΩ şi atunci                        

unde am notat  şi  sunt constante pozitive independente de t.

Teorema 3. Dacă există o constantă astfel încăt pentru orice xΩ şi atunci

                                   

unde am notat  şi constanta  este independentă de t.

Rezultate similare s-au obţinut şi pentru alte clase de sisteme de tip parabolic sau parabolic-degenerat în cazurile 2 sau 3-dimensional şi urmează a fi publicate.

 

 Bibliografie: lucrari publicate sau in curs de publicare:

1.             V.Barbu, I.Lasiecka, R.Triggiani, Tangential boundary stabilization of Navier Stokes equations, Memoirs American Mathematical Society, vol 181, 2006, 128 p.

2.             V.Barbu, I.Lasiecka, R.Triggiani, Abstract settings for tangential boundary stabilization of Navier-Stokes equations by high and low-gain feedback controllers, Nonlinear Analysis, 64 (2006), 2704-2746.

3.            V.Barbu, Vl. Bogachev,G.Da Prato,Weak solutions to the stochastic porous medium equations:the degenerate case, J.Functional Analysis, 237(2006), 379-398.

4.            V.Barbu, G.Da Prato, M.Roeckner, Existence and uniqueness of nonnegative solutions to the stochastic porous media equations, Indiana Univ.Mathematical Journal 57(1),2008, 187-211

5.            V.Barbu, G.Da Prato, M.Roeckner, Stochastic porous media equations and self-organized criticality, Comm.Math.Physics, trimisa spre publicare.

6.            V. Barbu,G. Da Prato, The Kolmogorov equation for a 2-D Navier-Stokes stochastic flow in a channel, Nonlinear Analysis, Theory Methods and Applications,69 (2008), 940-949.

7.            V. Barbu, D.Coca,Y.Yan, Internal optimal controller synthesis for Navier-Stokes equations, Numerical Funct.Anal.Optimization, 29(2008),225-242.

8.            V. Barbu,Z.Grujick, I.Lasiecka, I.Tuffa, Smoothness of weak solutions to a nonlinear fluid-structure interaction model, Indiana Univ.Mathematics Journal, 57(3),(2008), 1173-1207.

9.            V. Barbu,G.Da Prato, The generator of the transition semigroup corresponding to a stochastic variational inequality, Comm.Partial Differential Equatoions, 33(2008), 1318-1338.

10.        B.Ainseba, S.Anita, Internal nonnegative stabilization for some parabolic equations, Communications on Pure and Applied Analysis, 7 (2008), 491-512

11.        S.Anita, M.Langlais, Stabilization strategies for some reaction-diffusion systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications, acceptata spre publicare.

12.        S.Anita, W.-E.Fitzgibbon, M.Langlais, Global existence and internal stabilization for a reaction-diffusion system posed on noncoincident spatial domains, Discrete and Continuous Dynamical Systems – B, trimisa spre publicare.

13.         V.Arnautu, J.Sprekels, D.Tiba, Optimization problems for curved mechanical structures, SIAM J. Control and Optimization, 44/2 (2005), 743-775.

14.        V.Arnautu, J.Sprekels, D.Tiba, A reduction approximation method for curved rods, Numerical Functional Analysis and Optimization, 26/2 (2005), 139-155.

15.        O.Carja, On the minimum energy problem for a semilinear control problem in Hilbert spaces, in Mathematical Analysis and Applications (C.P. Niculescu, V. Radulescu, eds.), AIP Conference Proceedings 835, p. 37-47, 2005.

16.        O.Carja, M.Necula, I.I.Vrabie,  Necessary and sufficient conditions for viability for semilinear differential inclusions, Trans. Amer. Math. Soc., postata pe site la adresa: http://www.ams.org/journals/tran/0000-000-00/

17.        O.Carja, M.Necula, I.I.Vrabie, Invariance for single-valued perturbed fully nonlinear evolutions, Analele Universitatii de Vest din Timisoara, XLV (2007), 109-116.

18.        O.Carja, M.Necula, I.I.Vrabie, Orthogonal Solutions for a Hyperbolic System Bul. Acad. Sci. Moldova, (56) , 2008, 125-130.

19.         O.Carja, M.Necula, I.I.Vrabie,  Tangent Sets, Viability for Differential Inclusions and Applications, One hour invited lecture at WCNA 2008, July 2-9, 2008, Orlando, Florida, trimisa spre publicare in Nonlinear Analysis.

20.        O.Carja, M.Necula, I.Vrabie, Viability, Invariance and Applications, Elsevier, North-Holland Mathematical Studies 207, 2007, ISBN 978 0 444 52761 5.

21.        O.Carja, M.Necula, I.Vrabie, Necessary and sufficient conditions for viability for nonlinear evolution inclusions, Set-Valued Analysis, , (2007), doi: 10.1007/s11228-007-0063-7.

22.        M.Durea, Scalarization for pointwise well-posed vectorial problems, Mathematical Methods of Operations Research, 66 (2007), 409-418

23.        M.Durea, Calculus of the Bouligand derivative of set-valued maps in Banach spaces, Nonlinear Functional Analysis and Applications, acceptata

24.        M. Ait Mansour, M. Durea, M. Thera, A lower semicontinuous regularization for set-valued mappings and its applications, Journal of Convex Analysis, 15 (2008), 437-484.

25.        V.Barbu, T.Havarneanu, C.Popa, S. S.Sritharan, Local exact controllability for the magnetohydrodynamic equations, revisited, Adv. Differential Equations, 10 (2005), 481-504.

26.        T.Havarneanu, C.Popa, S. S.Sritharan, Exact controllability for the three-dimensional Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions, Indiana University Math. J., 54 (2005), 1303-1350.

27.        T.Havarneanu, C.Popa, S.S.Sritharan, Exact internal controllability for the magnetohydrodynamic equations in multi-connected domains, Adv. Differential Equations, 11 (2006), 893-929.

28.        T. Havarneanu, C. Popa, S.S. Sritharan, Exact internal controllability for the two dimensional magnetohydrodynamic equations, SIAM Journal on Control and Optimization, 46 (5) (2007), 1802-1830.

29.         T. Havarneanu, C. Popa, S.S. Sritharan, Exact controllability for the two-dimensional Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions, Systems and Control Letters, 55 (12) (2006), 1022-1028.

30.        A.Rascanu, L.Maticiuc, Viability of moving sets for a nonlinear Neumann problem, Nonlinear Analysis; Theory, Methods and Applications,  7 (2007), 1587-1599.

31.        A.Rascanu, L.Maticiuc, Backward stochastic generalized variational inequality, Applied Analysis and Differential Equations (O.Carja, I.Vrabie, eds.), World Scientific Pub Co Inc, 2007/10,  p. 217-226.

32.         A.Rascanu, L.Maticiuc, Stochastic approach for a multivalued Dirichlet-Neumann problem,  Journal of Differential Equations, trimisa spre publicare.

33.        I.Vrabie, A viability result for a class of ordinary differential equations in Banach spaces,  Mathematical Analysis and Applications,  American Institute of Physics Conference Proceedings, 837 (C. P.Niculescu, V. Radulescu, eds.), 2006, p. 143-157.

34.        M.Necula, I.Vrabie, A viability result for a class of fully nonlinear reaction-diffusion systems, Nonlinear Anal., 69 (2008), 1732-1743.

35.        J.P.Penot, C.Zalinescu, On the convergence of maximal monotone operators, Proceedings of the American Mathematical Society, 134/ 7, 1937-1946.

36.        M. Voisei, C. Zalinescu, Strongly representable monotone operators, http:// arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0802/0802.3640v1.pdf, trimisa spre publicare la revista Journal of Convex Analysis.

37.        L. Maticiuc, A. Rascanu, A. Zalinescu, Backward stochastic variational inequalities under weak assumptions on the data, http://arxiv.org/PScache/arxiv/pdf/0808/0808.0801v1.pdf

38.        G. Marinoschi, Nonlinear diffusion equations with discontinuous coefficients in porous media, In: Progress in Nonlinear Analysis Research (Ed. Erik T. Hoffmann), pp. 213-245, Nova Science Publishers, in press, 2008.

39.        Cornelia Ciutureanu, Gabriela Marinoschi, Convergence of a finite difference scheme for a fast diffusion equation in porous media, trimisa la Numerical Functional Analysis and Optimization, 2008.

40.        Angelo Favini, Gabriela Marinoschi, Existence for a degenerate parabolic problem with a nonlinear operator, Journal of Evolution Equations, 7, 743-764, 2007.

41.        Angelo Favini, Gabriela Marinoschi, Periodic behavior for a degenerate fast diffusion equation, trimisa la Journal of mathematical Analysis and Applications, 2008.

42.        Gabriela Marinoschi, Well-posedness for a non-autonomous model of fast diffusion, Applied Analysis and Differential Equations (Editors: Ovidiu Carja, Ioan I. Vrabie), 199- 216, World Scientific 2007, ISBN  978-981-270-594-5.

43.        Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Well-posedness for a hyperbolic-parabolic Cauchy problem arising in population dynamics, 2008, Differential and Integral Equations, in press.

44.        Carlos Castro, Sorin Micu şi Arnaud Munch, Numerical approximation of the boundary control of the 2-D wave equation with mixed finite element, IMA J. Numerical Analysis 28, 186−214, 2008.

45.        Sorin Micu, Uniform boundary controllability of the semi-discrete 1-D wave equation with vanishing viscosity, acceptat SIAM J. Cont. Opt.

46.        Sorin Micu, Jaime Ortega, Ademir Pazoto, On the controllability of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations, acceptat Communications in Contemporary Mathematics.

47.        Sorin Micu, Jaime Ortega, Lionel Rosier, Bing-Yu Zhang, On the controllability of a family of Boussinesq systems, acceptat Continuous and Discrete Dynamical Systems.

48.        Sorin Micu, On the Approximation of the Boundary Control of the Wave Equation with Numerical Viscosity, Proceedings of the European Control Conference 2007, Kos  Greece, 2-5 July, 2007, pp. 4467-4473 (publicat electronic).

49.        Mihai Mihailescu and Constantin P. Niculescu, An extension of the Hermite-Hadamard Inequality through subharmonic functions, Glasgow Math. J. 49 (2007), 509-514.

50.        Constantin Buşe and Constantin P. Niculescu, A condition of uniform exponential stability for semigroups, Math. Inequal. Appl. 11 (2008) No. 3, 529-536.

51.        Constantin Buşe and Constantin P. Niculescu, An ergodic characterization of uniformly exponentially stable evolution families, Bull. Soc. Sci. Math. Roum. 51 (99), no. 4, 2008.

52.        Constantin P. Niculescu, An overview of absolute continuity and its applications, vol. Inequalities and Applications (Proceedings of the Conference in Inequalities and Applications '07). International Series of Numerical Mathematics, vol. 157, pp. 201-214, Birkhäuser-Verlag, 2008.

53.        Constantin P. Niculescu, The Krein-Milman Theorem in Global NPC Spaces, Bull. Soc. Sci. Math. Roum. 50 (98), no. 4, 2007.

54.        Constantin P. Niculescu, An Invitation to Convex Functions Theory, 65 pp. In vol. Order Structures in Functional Analysis (R. Cristescu ed.), pp. 67-132, Ed. Academiei, Bucharest, 2006.  ISBN 978-973-27-0819-4.

55.        Constantin P. Niculescu, The Hermite-Hadamard inequality for convex functions on a  global NPC space, submitted.

56.        Mihai Mihailescu, Vicenţiu Radulescu, A multiplicity result for a nonlinear degenerate problem arising in the theory of electrorheological fluids, Proc. R. Soc. A (2006) 462, 2625–2641.

57.        Mihai Mihailescu, Vicenţiu Radulescu, Existence and multiplicity of solutions for quasilinear nonhomogeneous problems: An Orlicz–Sobolev space setting, J. Math. Anal. Appl. 330 (2007) 416–432.

58.        Vicentiu Radulescu, Singular phenomena in nonlinear elliptic problems. From blow-up boundary solutions to equations with singular nonlinearities, in Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, vol. 4 (Michel Chipot, Editor), 2007, 483-591.

59.        Vicentiu Radulescu and Claude Vallee, An infinite dimensional version of the Schur convexity property and applications, Analysis and Applications, 5 (2007), 123-136.

60.        Mihai Mihailescu, Vicenţiu Radulescu, A continuous spectrum for nonhomogeneous differential operators in Orlicz-Sobolev spaces, Mathematics Scandinavica, sub tipar.

61.        Vicenţiu Radulescu, D. Repovs, Perturbation effects in nonlinear eigenvalue problems, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, sub tipar.

62.        C. Ursescu, Local uniform linear openness of multifunctions and calculus of Bouligand - Severi and Clarke tangent sets, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol. 12, No. 9, December 2008.

63.        G. Liţcanu, J.J.L. Velázquez, Dynamics of propagation phenomena in biological pattern formation, Math. Mod. Nat. Phen., Vol. 1, No. 1, 101-121, (2006).

 

Modul de atribuire si exploatare a drepturilor de proprietate

 

Pentru lucrările deja publicate sau in curs de publicare drepturile de autor sunt cedate editorului, iar pentru preprinturi şi pentru lucrările comunicate la conferinţe şi nepublicate, dreptul de autor aparţine autorului.

 

Elemente de dezvoltare economica

 

Impact economic si social:

-          mentinerea si extinderea colaborarilor europene si atragerea cercetarii romanesti in circuitul mondial de valori

-          introducerea unor domenii noi de instruire a studentilor care sa le permita sa faca fata noilor provocari de pe piata muncii

-          imbunatatirea actului de predare si instruire in activitatea didactica

-          reducerea emigrarii inteligentei romanesti prin includerea in proiect a unor doctoranzi si masteranzi

.