Proiecte de cercetare exploratorie ID_379 13/ 28.09.2007


Director: Prof. dr. Constantin ZALINESCU

  

  Titlul complet al propunerii

  Echipa de cercetare

  Obiective

  Realizari


1. TITLUL COMPLET AL PROPUNERII

Titlul complet al propunerii: : Functii de scalarizare si multiplicatori Lagrange in probleme de optimizare
Acronimul: ID_379

1.1 Aria tematica:
  • 11 STIINTE DE BAZA: Matematica
1.2 Rezumat

   Se cunoaste bine rolul functionalei Minkowski asociata unei multimi convexe in analiza functionala. Mai putin cunoscuta este o alta functionala asociata unei submultimi a unui spatiu liniar, pe care in continuare o numim functie de scalarizare, datorita rolului important pe care aceasta functie o are in probleme de programare vectoriala. In acest context aceasta functie a fost introdusa de C. Tammer si E. Iwanow in 1985, iar unele proprietati ale acesteia au fost studiate si utilizate si de catre C. Zalinescu (1987) si D.T. Luc (1989). In cadrul matematicilor economice o astfel de functie a fost introdusa de D. Luenberger (1992) sub numele de shortage function si de P. Artzner et. al. (1999) sub numele de coherent measure of risk. In cadrul acestui proiect ne propunem sa continuam studiul functiei de scalarizare: 1) punind in evidenta proprietati locale de continuitate si lipschitzianitate si obtinerea de conditii de optimalitate in programarea vectoriala, 2) construirea unor probleme duale si punerea in evidenta a unor conditii necesare si/sau suficiente pentru lipsa saltului de dualitate, 3) construirea si studierea unor functii cu proprietati asemanatoare dar luind valori in spatii vectoriale. Ne propunem de asemenea sa studiem probleme legate de multiplicatorii lui Lagrange pentru probleme vectoriale nenetede pe spatii Banach arbitrare partial ordonate prin intermediul unor conuri inchise si convexe cu interior posibil vid. Chestiunile pe care le avem in vedere sunt:4) problema existentei multiplicatorilor lui Lagrange, 5) obtinerea unor conditii de tip Mangasarian-Fromovitz care sa garanteze marginirea multimii multiplicatorilor lui Lagrange, 6) dezvoltarea unor algoritmi numerici de rezolvare a problemelor vectoriale nenetede.

2. ECHIPA DE CERCETARE

Nr.Crt Nume si prenume Anul nasterii Titlul didactic stiintific Doctorat
1 Durea Marius 1975 Lector Da
2 Strugariu Claudiu Radu 1978 Doctorand Nu
3 Florentiu Blanariu 1985 Cercetator Nu


3. OBIECTIVE

Obiectivele proiectului sunt:
  • (1a) Punerea in evidenta a unor proprietati locale de continuitate si lipschitzianitate a functiei de scalarizare. Mai ales proprietatile de lipschitzianitate sunt utile in utilizarea calculului cu subdiferentiale de tip Clarke, Mordukhovich. Chiar si rezultate publicate de catre economisti fac apel la astfel de proprietati.
  • (1b) Construirea si studiul unor probleme duale prin intermediul functiei de scalarizare. Este bine cunoscut faptul ca de multe ori problemele duale au o structura mai simpla, dar chiar si in lipsa acesteia sunt utile in estimari ale valorilor problemelor primale. Problemele considerate apar din domeniul economic.
  • (1c) Construirea si studierea unor functii cu proprietati asemanatoare functiei de scalarizare cu valori in spatii vectoriale. Studiul unor astfel de functii este natural in dezvoltarea fireasca a domeniului (trecerea de la cazul scalar la cel vectorial se face frecvent in programarea matematica) si, in plus, deja au fost considerate functii "coherent measures of risk" de tip vectorial.
  • 2a) Obtinerea unor rezultate de existenta pentru multiplicatorii Lagrange in cazul problemelor vectoriale infinit dimensionale pentru ordini generate de conuri cu interior vid. Pentru cazul in care interiorul conului nu este vid exista rezultate satisfacatoare pentru solutii Pareto slabe. In cazul pe care dorim sa-l studiem nu exista rezultate in literatura de specialitate. Estimam ca obtinerea unor asemenea rezultate ar putea fi de un real interes pentru domeniul in optimizarii multicriteriale.
  • 2b) Obtinerea unor conditii de tip Mangasarian-Fromovitz pentru probleme vectoriale infinit dimensionale care sa asigure marginirea multimii multiplicatorilor lui Lagrange. Aceasta chestiune a fost studiata in literatura doar pentru cazul finit dimensional. Din cauza dificultatilor tehnice pe care ne asteptam sa la intampinam (prin trecerea de la finit la infinit dimensional se pierde compactitatea bilei unitate) rezultatele in acest caz ar fi foarte importante pentru studii ulterioare legate de aspecte numerice.
  • 2c) Obtinerea unor rezultate numerice pentru problemele de optimizare studiate. In cazul scalar marginirea multimii multiplicatorilor Lagrange este o proprietate importanta in studiul numeric al problemelor de optimizare. Credem ca acelasi lucru se poate obtine si in cazul (nestudiat pana acum) al problemelor vectoriale nenetede.
  • 3a) Studiul literaturii in tematica tezei de doctorat "Dualitate si trialitate in probleme de optimizare".
  • 3b) Elaborarea rezultatelor legate de teza de doctorat de mai sus.
  • 3c) Valorificarea rezultatelor avute in vedere la 3b).
    Tematica tezei de doctorat a drd. C. Strugariu este strans legata de domeniul abordat in acest proiect. Teoria trialitatii introdusa de D. Y. Gao reprezinta un domeniu putin studiat si de aceea abordarea acesteia intr-o maniera critica in cadrul unei teze de doctorat poate fi utila atat pentru doctorand cat si pentru comunitatea matematica.

4. REALIZARI

  1. C. Tammer, C. Zalinescu: Lipschitz properties of the scalarization function and applications, Optimization 59 (2) (2010), 305-319 .

  2. A. Hantoute, M.A. Lopez, C. Zalinescu: Subdifferential calculus rules in convex analysis: A unifying approach via pointwise supremum functions, SIAM Journal on Optimization 19 (2008), 863-882.

  3. C. Zalinescu: Duality results involving functions associated to nonempty subsets of locally convex spaces, Rev. R. Acad. Cien. Serie A. Mat. VOL. 103 (2), 2009, pp. 219-234.

  4. M. Durea: Optimality conditions for weak and firm efficiency in set-valued optimization, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 344 (2008), 1018-1028.

  5. M. Durea, J. Dutta: Lagrange multipliers for Pareto minima in general Banach spaces, Pacific Journal of Optimization, 4 (2008), 447-463.

  6. M. Durea, J. Dutta, Chr. Tammer: Lagrange multipliers for e-Pareto solutions in vector optimization with non solid cones in Banach spaces, Journal of Optimization Theory and Aplications, 145 (2010), 196-211.

  7. M. Durea, J. Dutta, Chr. Tammer: Bounded sets of Lagrange multipliers for vector optimization problems in infinite dimension , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 348 (2008), 589-606.

  8. M. Durea, Remarks on strict efficiency in scalar and vector optimization, Journal of Global Optimization 47 (2010), 13-27.

  9. M. Durea, R. Strugariu, On some Fermat rules for set-valued optimization problems, Optimization, DOI: 10.1080/02331930903531527 .

  10. C. Zalinescu: On the duality between the profit and the indirect distance functions in production theory, European Journal of Operational Research, 207 (2010), 30-36.

  11. R. Strugariu, M.D. Voisei, C. Zalinescu: Counter-examples in bi-duality, triality and tri-duality, Communications on Pure and Applied Analysis (va apare).


Sinteza rezultate 2008
Sinteza rezultate 2009
Sinteza rezultate 2007-2010
Home