PROIECT CEEX nr. 05-D11-36/05.10.05
Director: Acad. Prof. Dr. Viorel Barbu
|
|
Obiective masurabile:
Conformitatea
obiectivelor propuse cu obiectivele programului si prioritatile programului:
Scopul principal al acestui proiect a fost acela de a obtine rezultate noi si semnificative in mai multe probleme importante care se afla in linia intii a uneia dintre stiintele de baza: matematica, cu aplicatii in aeronautica, matematici financiare, fizica, biologie, chimie, dinamica populatiilor, stiinta pamintului, pentru a cita numai citeva. S-a avut in vedere aici stabilizarea si controlul unor clase de sisteme de ecuatii cu derivate partiale de mare utilitate practica precum: Navier-Stokes, ecuatiile magnetohidrodinamicii, parabolice cu restrictii de stare, parabolice cu termen de convectie, sisteme dispersive, cit si studiul unor probleme cu singularitati: Lane-Emden-Fowler cu termen de convectie si termen gradient, sisteme de tip logistic in medii anisotropice. Unele ecuatii stochastice, sisteme de reactie-difuziune, Klein-Gordon si Sine-Gordon au fost de asemenea studiate. Am fost interesati in obtinerea unei formulari topologice pentru problemele de control optimal cu restrictii finit-dimensionale cu sau fara interior nevid, cit si de o abordare semigrupala a modelelor de infiltratie incluzind ecuatia lui Richards. In sfirsit, am studiat unele proprietati de continuitate ale operatiilor cu operatori monotoni folosind reprezentari cu functii convexe, si am dedus unele variante ale conditiilor de calificare pentru probleme de optimizare vectoriala care se reduc la variante ale conditiilor de calificare de tip Mangasarian-Fromovitz si/sau Abadie din cazul functiilor cu valori reale extinse. Mai jos facem o scurta descriere a rezultatelor obtinute de catre echipa de cercetare a prezentului proiect si indicam articolele realizate in cadrul proiectului. In cadrul temei Stabilizarea
si controlabilitatea ecuatiilor Navier-Stokes au fost elaborate lucrarile [1]-[9] obtinandu-se
urmatoarele rezultate: 1) Stabilizarea solutiilor stationare ale ecuatiilor Navier-Stokes
folosind controale interne si frontiera. Intr-o serie de lucrari publicate in
Indiana University Math.J, Memoires AMS si Nonlinear Analysis s-a aratat ca
stabilizarea este posibila prin comenzi feedback finit dimensionale cu
suportul in subdomenii arbitrare sau pe frontiera. S-au obtinut de asemenea
scheme si simulari numerice. 2) Forma exacta a generatorului infinitesimal al semigrupului de
tranzitie(Markov) corespunzator unor clase mai largi de ecuatii stochastice si
in particular pentru ecuatia neliniara a undelor, Ecuatii Navier-Stokes, ecuatia
magneto-hidrodinamicii, problema de reflexie in spatii Hilbert si pentru
inecuatii variationale stochastice in dimensiune finita. In toate aceste
cazuri a fost gasita forma preciza a generatorului (operatorul Kolmogorov) si
s-a aratrat ca sunt esential m-dissipativi intr-un spatiu L2 asociat unei masuri
invariante procesului. Rezultatele au fost publicate in Numerical Funct.
Analysis, Comm.Partial Diff.Equations, Nonlinear Analysis 3) Existenta si unicitatea solutiilor ecuatiilor stochastice ale mediilor
poroase relevante in dinamica fluidelor si auto organizarea
criticalitatii.Aceste rezultate au fost publicate sau sunt in curs de
publicare in : Indiana Univ.Math.J., Comm.Math.Physics. Tratarea temei Stabilizarea si controlabilitatea sistemelor parabolice cu restrictii de stare. a inceput printr-un studiu al controlabilitatii si stabilizarii ecuatiilor parabolice liniare si neliniare cu restrictii asupra starii. S-au obtinut o serie de rezultate de baza si s-au exins apoi la cazul ecuatiei dinamicii populatiei depinzand de varsta. S-a continuat cu problema cea mai importanta, a optimizarii formei suportului controlului stabilizant in cazul unui system de tip reactie-difuzie care descrie dinamica unui system de tip prada rapitor cu raspuns functional de tip Holling II la actiunea rapitorilor: Aici S-a aratat ca problema de mai sus este strans legata de problema
maximizarii autovalorii principale pentru
Aici Lucrarile [13],[14] studiaza o
ecuatie eliptica in forma variationala ca model pentru tijele curbate
subtiri. Mai précis, modelul revine la o ecuatie eliptica in forma
variationala Temei Probleme de viabilitate si invarianta si aplicatii ii corespund lucrarile [15]-[21], [33], [34]. Astfel, in [33] s-a stabilit un rezultat general de viabilitate pentru ecuatii diferentiale abstracte, infinit-dimensionale. Din acest rezultat s-a dedus existenta solutiilor pozitive pentru probleme pseudo-parabolice semi-liniare in ipoteze standard asupra datelor. In [20], Sectiunea 13.1 si in [18], utilizand tehnici de viabilitate, am demonstrat o conditie necesara si suficienta de existenta a solutiilor ortogonale pentru un sistem de ecuatii hiperbolice de ordinul intai, semiliniare. Aplicatii ale teoriei viabilitatii la obtinerea unor rezultate calitative (rezultate de comparatie, etc.) pentru sisteme de reactie-difuzie au fost obtinute in [34]. In [16] a fost introdus conceptul de multime tangenta intr-un punct la multime, cat si cel de multime A-tangenta si respectiv A-cvasi-tangenta, cu A generator de semigrup de clasa C0 si au fost stabilite conditii necesare si suficiente de viabilitate a unei multimi in raport cu o incluziune diferentiala (de evolutie). Ca aplicatie, a fost demonstrata o conditie suficienta de nula controlabilitate a unui sistem semilinear. Cazul neliniar a fost studiat in [21], unde a fost introdus conceptul de multime A-tangenta cu A operator neliniar, si s-au stabilit conditii si necesare si suficiente de viabilitate, exprimate prin intermediul acestui nou concept. Tot aici, a fost extins la cazul complet neliniar rezultatul de nula controlabilitate din cazul semiliniar din [16]. In [17] a fost stabilit un rezultat de invarianta pentru ecuatii de evolutie neliniare perturbate, iar in [18], utilizand tehnici de viabilitate, s-a demonstrat o conditie necesara si suficienta de existenta a solutiilor ortogonale pentru un sistem de ecuatii hiperbolice de ordinul intai, semiliniare. In sfarsit, in [19], a fost facuta o trecere in revista rezultatelor de viabilitate obtinute prin intermediul multimilor tangente si au fost demonstrate mai multe aplicatii noi dintre care mentionam cea referitoare la existenta solutiilor in multimi dependente de timp. Ca aplicatii ale unora dintre rezultatelor anterioare, am obtinut in lucrarea [15] rezultate noi de controlabilitate pentru ecuatia caldurii in cazul in care multimea de controale admisibile este formata din functii mai netede decit cele ce formeaza spatiul in care se modeleaza ecuatia. Binecunoscutul efect regularizant permite obtinerea unor astfel de rezultate. In aceasta situatie functia timp optimal asociata este local Holder continua, cu un exponent ce se determina in mod precis. Se obtin de asemenea si rezultate privind estimarea energiei minime. O analiza atenta a conditiilor in care se lucreaza arata ca rezultatele noastre generalizeaza pe cele obtinute de Petrov. Acesta a stabilit, in anii 1980, conditii necesare si suficiente ca functia timp optimal asociata unor sisteme neliniare finit dimensionale sa fie local lipschitziana. O alta problema abordata a fost aceea a stabilirii unor estimari pentru energia minima la timp fixat pentru sistemele de control considerate. S-a demonstrat ca estimarea energiei minime este echivalenta cu estimarea timpului optimal, extinzandu-se astfel unele rezultate anterioare ale noastre din cazul liniar. Se obtin astfel estimari precise ale explodarii pentru timpi mici a energiei minime consumate. S-au obtinut de asemenea rezultate interesante legate de controlabilitatea ecuatiei caldurii cu controale mai netede decit elementele spatiului de functii in care se modeleaza problema de control. In cadrul temei Probleme de optimizare multicriteriala au fost elaborate lucrarile [22], [23], [24]. In lucrarea [22] initiem studiul unor proprietati de regularitare ale problemelor de optimizare vectoriala in raport cu notiuni similare pentru probleme scalare intens studiate in ultimii 15 ani. Folosind o functie de scalarizare, sunt stabilite mai multe relatii intre cele doua seturi de proprietati iar acest lucru permite deducerea (pe baza rezultatelor existente in cazul scalar) regularitatii catorva programe vectoriale neconvexe. In lucrarea [23], sunt obtinute unele reguli de calcul (in general pentru suma si compunere) pentru derivata Bouligand a multifunctiilor. Derivata Bouligand a unor multifunctii perturbate este de asemenea considerata. Cadrul studiului din aceasta lucrare il reprezinta spatiile Banach generale iar conditiile de calificare utilizate sunt printre cele mai generale din literatura. In lucrarea [24] este abordata urmatoarea problema: in ce conditii se poate construi o multifunctie care sa fie inferior semicontinua pornind de la o multifunctie data. In plus, suntem interesati in a putea cuantifica “distanta” dintre multifunctia regularizata si multifuctia initiala. Procedura de regularizare obtinuta presupune un dublu proces de trecera la limita si permite obtinerea unor aplicatii utile in teoria inegalitatilor variationale si inteoria optimizarii. Tema Controlabilitatea ecuatiilor
magnetohidrodinamicii a fost abordata in lucrarile [25]-[29].
S-a studiat
controlabilitatea interna a ecuatiilor Navier-Stokes (care descriu curgerea fluidelor vascoase si
incompresibile) si a ecuatiilor magnetohidrodinamicii (care guverneaza
miscarea fluidelor vascoase, incompresibile si bune conducatoare de
electricitate in camp magnetic). S-a urmarit atingerea unor solutii-tinta cat
mai putin regulate printr-o actiune a controlului exercitata asupra unui
subdomeniu spatial oricat de mic. S-au obtinut rezultate de controlabilitate
exacta locala pentru ecuatiile Navier-Stokes cu conditii de tip Navier
(„cu alunecare”) la frontiera in domenii bi- si tridimensionale
(vezi lucrarile [25] si [26]), precum si pentru ecuatiile magnetohidrodinamicii
in domenii bi- si tridimensionale marginite cu frontiera perfect conducatoare
(vezi [25], [28] si [29]). Controlabilitatea exacta locala pentru ecuatiile
neliniare a fost redusa la controlabilitatea exacta globala pentru ecuatiile
liniarizate (in jurul solutiilor-tinta) prin intermediul unei versiuni
infinit-dimensionale a teoremei de inversare locala. Controlabilitatea exacta
globala pentru ecuatiile liniarizate rezulta din inegalitati de
observabilitate pentru ecuatiile adjuncte cu ajutorul unor probleme de minimizare
(control optimal) auxiliare. Calea obisnuita pentru obtinerea
inegalitatatilor de observabilitate este de a le deriva din estimari de tip
Carleman pentru aceleasi ecuatii. Estimarile Carleman sunt estimari a priori
ponderate care depind de unul sau mai multi parametri. Efortul nostru
principal a fost indreptatin spre obtinerea estimarilor Carleman potrivite
pentru ecuatiile liniarizate adjuncte cu aceleasi conditii la frontiera ca si
ecuatiile originare controlate. Aceste estimari au fost obtinute tot in
lucrarile [25] – [29]. Pentru obtinerea lor s-au folosit, printre
altele, formule de tip Green, teoremele de scufundare ale lui Sobolev si
inegalitati de interpolare. In
cadrul temei Continuitatea unor
operaţii cu operatori monotoni prin utilizarea unor reprezentanţi
convecşi ne-am pus
problema studierii convergenţei bounded Hausdorff", bH, a
şirurilor de operatori maximal monotoni pe spaţii Banach reflexive.
Unele rezultate in aceasta direcţie au fost obţinute de
autorii H. Attouch, A. Moudafi, H. Riahi (1993), T. Pennanen, J. Revalski, M.
Théra (2003). Demonstraţiile
lor se bazează pe utilizarea aproximantelor Yosida ale operatorilor in
discuţie. Pentru a studia aceasta problema asociem unui operator maximal
monoton Propozitie. Fie Utilizând acest rezultat obţinem Teorema Fie Remarcăm ca prin acest rezultat răspundem şi unei probleme deschise pusă de către T. Pennanen, R.T. Revalski, M. Théra (Proc. Am. Math. Soc. 131 (2003), 3721--3729). Rezultatele sunt publicate în lucrarea [35]. Am continuat studiul operatorilor monotoni in spatii Banach. In acest senss-a introdus o noua clasa de operatori monotoni pe care i-am numit tare reprezentabili (SR). Am reobtinut un rezultat recent stabilit de catre Marques Alves si Svaiter care afirma ca orice operator tare reprezentabil este maximal monoton. In plus am pus in evidenta o estimare utila a distantei de la un punct din spatiul produs X x X* la graficul operatorului utilizind un reprezentant tare. Aceasta ne-a permis sa obtinem cu usurinta ca inchiderile domeniului si imaginii unui operator SR sunt convexe; avind in vedere faptul ca orice operator NI este SR, prin acest rezultat extindem rezultatul central al unei lucrari recente a lui D. Zagrodny care urmeaza sa apara in Set-Valued Analysis. In cazul in care conditii (uzuale) de calificare sunt satisfacute am aratat ca suma a doi operatori SR precum si compunerea unui operator SR cu un operator liniar si continuu sunt SR. Aceasta ne-a permis sa obtinem ca orice operator SR este maximal monoton local (sau de tip FPV). De asemenea am aratat ca orice operator SR este local maximal monoton (adica de tip FP) si de asemenea ca orice operator SR este tare maximal monoton. In plus orice operator SR este si de tip ANA. Aceste rezultate sunt cuprinse in lucrarea [36]. Lucrarile [31], [32], [37] corespund temei Ecuatii diferentiale stochastice. In analiza neliniara functia Fitzpatrick atasata unui operator maximal monoton a condus la demonstratii elegante pentru diverse proprietati ale opeatorilor maximali monotoni. Folosindu-ne de reprezentarea Fitzpatrick reducem problema existentei solutiei unei ecuatii diferentiale stochatice guvernata de un operator maximal monoton la minimizarea unei functii convexe si semicontinua inferior. (A). Am continuat studiul problemei Skorohod generalizate
unde
generalizandu-se rezultatul classic cunoscut al lui Pierre-Louis
Lions & Alain-Sol Sznitman, Stochastic
differential equations with reflecting boundary conditions, Comm. Pure
Appl. Math. 37 (1984), no. 4, 511--537. Am demnstrat, utilizand proprietati ale problemei
regularizate, ca ecuatia are o solutie slaba. Cum ecuatia are proprietatea de
unicitate tare, atunci se obtine existenta din teorema lui Ikeda
&Watanabe (B) Am
studiat de asemenea existenta si unicitatea solutiei ecuatiei
diferentiale stohastice cu operator subdiferential
Rezultatul obtinut generalizeaza rezultatelr din Our
results generalize those of Tema Aspectele matematice induse de neliniaritatea ecuatiilor de difuzie
cu termeni de convectie in medii poroase este tratata in lucrarile [38]-[43].
Mai precis, s-au studiat proprietatile solutiilor unor anumite tipuri de
ecuatii de difuzie in care coeficientul de difuzie si termenul de convectie
sunt functii neliniare si discontinue de solutie, posibil singulare. Teoria matematica a fost dezvoltata
in cadrul teoriei ecuatiilor de evolutie cu operatori neliniari m –
acretivi multivoci in spatii Hilbert. In particular, aceste ecuatii pot
aparea in stiintele solului si descrie procesul de infiltratie a apei in
soluri saturate-nesaturate neomogene, caracterizate de proprietati hidraulice
neliniare, dar in general, sunt adecvate pentru modelarea dinamicii
diverselor fluide in materiale poroase, precum si a proceselor fizice de
difuzie ce intervin in biologie. Modelul general este reprezentat de (1) (2)
cu diferite
conditii la limita. Ipoteze. Presupunem ca functia neliniara (3)
Functia
Vectorul
In lucrarea [38] din bibliografie s-au demonstrat teoreme de existenta si
proprietatile solutiei pentru modelul (1)-(2) cu In lucrarea [39] s-a studiat o schema implicita pentru
solutia cu diferente finite a
sistemului parabolic neliniar (1)-(2) cu In lucrarea [40] s-a studiat modelul
(1)-(2) degenerat cu conditii Dirichlet omogene pe frontiera si cu m functie de x, care in plus se anuleaza pe o submultime a lui In lucrarea [41 ne-am ocupat de studiul
solutiilor periodice ale modelului degenerat de difuzie rapida, din [40]. S-a
demonstrat existenta solutiei periodice pentru o problema intermediara restrictionata
la o perioada T, cu ajutorul unei teoreme de punct fix, dupa care
rezultatul a fost extins prin periodicitate la spatiul de timp real. S-a mai
demonstrat ca solutia corespunzatoare oricarei stari initiale tinde pentru
timp mare la solutia periodica care este unica. In lucrarea [42] transpunand modelul general
(1)-(2) intr-un cadru functional adecvat s-a ajuns la o problema Cauchy cu un
operator nemarginit, multivoc, dependent de timp. Existenta si unicitatea solutiei a fost obtinuta
pe baza unor rezultate similare demonstrate pentru o problema aproximativa
asociata, utilizand un rezultat de tip Kato pentru ecuatii neliniare de
evolutie cu operatori m-acretivi. In lucrarea [43] s-a studiat un model constand intr-un sistem de
ecuatii cu derivate partiale parabolic-hiperbolic cu coeficienti discontinui,
cu date si surse pe frontierele interioare, frontiere ce separa straturi cu
structuri diferite. In aceasta lucrare, folosind tehnici de m-acretivitate
si teoreme de punct fix s-a aratat ca in anumite conditii de regularitate
problema este bine pusa. Lucrarile [44]-[48] studiaza tema Ecuatii eliptice neliniare. Astfel, studiul unei clase de probleme neliniare cu
conditie Dirichlet pe frontiera si continand un operator diferential neomogen
face obiectul lucrarii [60] din lista de publicatii de mai jos. Principalul
rezultat este detectarea unui fenomen de concentrare a spectrului, neasteptat
daca ne gandim la teoria similara pentru operatorul lui Analiza efectului unei perturbari superliniare intr-o problema eliptică neliniara de valori proprii este analizat in lucrarea [61] din listă. Problema de bifurcatie asociata este analizata calitativ si exhaustiv. In [56] studiem problema Dirichlet Lucrarea [58] prezintă rezultate calitative legate de existenţa, unicitatea şi comportamentul asimptotic al soluţiilor pentru două clase de probleme neliniare: ecuaţii de tip logistic, cu soluţii cu explozie la frontieră si ecuaţii neliniare cu termen singular şi termen de convecţie. Metodele de studiu au la bază principiul de maxim şi teoria lui Karamata a funcţiilor cu variaţie regulată la infinit. Sunt studiate diverse clase de probleme de bifurcaţie asociate, precum şi regularitatea optimală a soluţiilor. Tema Discretizarea numerica si controlabilitatea sistemelor dispersive este studiata in articolele [44]-[48]. Problema controlabilitatii
ecuatiei undelor liniara a fost intens studiata si rezolvata cu mult timp in
urma. Dimpotriva, tema aproximarii controlului ecuatiei undelor a cunoscut o
atentie deosebita si o dezvoltare pe masura abia in ultimii ani. In multe
cazuri, ca de exemplu la utilizarea diferentelor finite si a elementelor
finite clasice, datorita discretizarii numerice apare un fenomen de dispersie
care face ca unele unde de frecventa inalta sa se deplaseze cu o viteza din
ce in ce mai mica. Acest lucru afecteaza proprietatea de controlabilitate,
prin necesitatea considerarii unui timp de control care creste cu pasul de
discretizare si care devine in acest fel la limita infinit. Pentru
recuperarea unui timp uniform de controlabilitate trebuiesc folosite tehnici
speciale. Astfel, se pot utiliza
elemente finite mixte, in care sunt folosite baze de functii diferite
pentru aproximarea pozitiei si vitezei. De asemenea, se pot introduce termini
disipativi in ecuatia discreta care sa diminueze efectul frecventelor
numerice inalte. In articolele nostre [44], [45], [48], consideram
ecuaţia undelor liniara in dimensiunile unu şi doi şi analizam
aceste doua metode de discretizare în spaţiu. Demonstram ca
se asigura convergenţa
sirurilor de controale discrete intr-un timp uniform si oferim diferite
simulari numerice ilustrative. Studiul proprietăţilor de controlabilitate ale unor sisteme dispersive de tip Boussinesq sau Korteweg-de Vries: Studiul sistemele complexe, cuprinzând mai multe ecuaţii de acelaşi tip sau de tipuri diferite, este unul extrem de important. Aceste sisteme modelează fenomene reale, care nu se pot descrie prin ecuaţiile clasice ale fizicii matematice. Ecuaţiile dispersive modelează, de exemplu, propagarea undelor de amplitudine mică pe suprafaţa unui lichid ideal în canale uniforme. Probleme de control al ecuaţiilor dispersive au fost studiate de exemplu de Rosier, L., Exact boundary controllability for the Korteweg-de Vries equation on a bounded domain, ESAIM: COCV, 2 (1997), 33-55 sau Micu S., On the controllability of the linearized Benjamin-Bona-Mahony equation, SIAM J. Cont. Optim 39, 6(2001), 1677-1696. Sistemele de astfel de ecuaţii dispersive sunt mai complexe şi au fost studiate mai puţin. Menţionăm lucrarile Bona J. L., Chen M., Saut J.-S., Boussinesq equations and other systems for small-amplitude long waves in nonlinear dispersive media. I: Derivation and linear theory, J. Nonlinear Sci., 12 (2002), 283-318 si J. A. Gear şi R. Grimshaw : Weak and strong interactions between internal solitary waves, Studies in Appl. Math. 70 (1984) 235-258. Am considerat sistemele dispersive de tip Boussinesq [47] sau Kortewg-de Vries [46] introduse in cele doua lucrari si am demonstrat proprietati de controlabilitate sau stabilizabilitate folosind controale frontiera sau interioare. Pentru studiul sistemelor liniare s-au folosit tehnici Fourier, spectrale sau multiplicatori iar trecerea la probleme neliniare s-a facut prin folosirea unor teoreme de punct fix. Pentru sistemele neliniare s-a demonstrat controlabilitatea datelor initiale sufficient de mici. Obiectivul de cercetare O tratare semigrupala a modelelor
neliniare de infiltratie este considerat in lucrarile [49]-[55]. Un rol important in studiul
problemelor semilineare il au semigrupurile tare continue. În
lucrarea [50] demonstrăm că uniform exponenţial stabilitatea
unui semigrup tare continuu T = {T(t)}_{t≥0} (care acţionează
pe un spaţiu Hilbert complex
H) se poate deduce ca o consecinta a comportamentului range-ului său
numeric într-un spaţiu Orlicz convenabil. Mai precis, presupunând că
există un spaţiu Orlicz
si
atunci
pentru un
anume număr strict pozitiv Fie U={U(t,s): t≥s≥0} o familie de evoluţie exponenţial
mărginită pe spaţiul Banach E, cu proprietatea că pentru
orice x∈X
şi orice s≥0 aplicaţia
t→||U(s+t,s)x|| este continuă pe (0,∞). In lucrarea [51]
se arata ca familia U este uniform exponenţial stabilă dacă
şi numai dacă există două constante strict pozitive
Corespondentul acestui rezultat
pentru semigrupuri reprezintă analogul ergodic al unui celebru criteriu
de uniform exponenţial stabilitate al lui S. Rolewicz (expus în
cartea sa, Functional Analysis and Control Theory, D. Riedel and Fie
Contribuţiile
relative la analiza convexă privesc in principal doua aspecte: extensia
teoriei lui Choquet şi stabilirea unui analog infinit dimensional a
proprietatii de convexitate in sens Schur a sirului valorilor proprii
ataşat unui operator compact si autoadjunct. Astfel, in lucrarea [49]
din lista se descrie
o generalizare a teoriei lui Choquet in cazul operatorilor L strict eliptici autoadjuncţi de
ordinul 2 (pe un domeniu deschis şi mărginit
pentru orice
să fie Spre exemplu, in cazul când Extensia teoriei lui Choquet (vezi R. R.
Phelps, Lectures on Choquet's Theorem, D. van Nostrand Company Inc.,
Princeton, 1966) la cazul spaţiilor
metrice compacte care au curbură globală nepozitivă face
obiectul lucrarii [55]. Ea permite redemonstrarea extensiei teoremei
Krein-Milman la acelasi cadru (demonstrata de noi cu o alta metoda in
lucrarea [53]) si complementeaza extensia inegalităţii lui Jensen
din lucrarea: K. T. Sturm, Probability
measures on metric spaces of nonpositive curvature. In vol.: Heat kernels
and analysis on manifolds, graphs, and metric spaces (Pascal Auscher et al.
editors). Lecture notes from a quarter program on heat kernels, random walks,
and analysis on manifolds and graphs, April 16-- In acest mod rezultă o
amplă extensie a inegalităţii Hermite-Hadamard (vezi C. P.
Niculescu and L.-E. Persson, Convex
Functions and their Applications. A Contemporary Approach, CMS Books in
Mathematics vol. 23, Un mod subtil
de interventie a inegalitatilor in deducerea unor rezultate matematice este
oferit de proprietatea de absolut continuitate. Ideea de bază este aceea
de a controla comportamentul unei funcţii f:X→R (în raport
cu o pereche de funcţii p,q:X→R) în situaţia când
o estimare de forma |f| ≤ ε q + δ(ε) p, pentru orice ε>0, Conceptul de absolut continuitate este inspirat din teoria măsurii, şi a fost extins la forma de faţă de Niculescu în anii 70. Lucrarea [52] ilustreaza utilitatea noţiunii de continuitate absolută într-o serie de domenii ale matematicii precum analiza funcţională, teoria aproximării şi ecuaţiile cu derivate parţiale. În
cadrul obiectivului, O alternativa
topologica a metodei lui Ekeland s-a elaborat lucrarea [62] unde s-a
observat ca proprietatile diferentiale ale functiei implicite
sunt identice
cu proprietatile tangentiale ale multimii de nivel Aceasta particularitate a teoriei ecuatiilor diferentiale este expresia
unui rezultat mult mai general care, pentru o multifunctie aceasta leaga proprietatile Pentru ca incluziunea
precedenta sa aiba loc trebuie ca notiunea de tangenta Reamintim
ca o multifunctie Notiunile
precedente pot fi reformulate folosind pentru fiecare punct In
lucrearea [61] din bibliografie, notiunile uniforme precedente, cunoscute si
studiate in literature, sunt rafinate inca o data in cazul in care spatiile
uniforme În cazul obiectivului, Soluţii speciale pentru sisteme de reacţie difuzie, s-au studiat anumite probleme parabolice ce au rezultat în urma modelării matematice a unor procese biologice. În lucrarea [63] din bibliografie s-a studiat existente soluţiilor de tip undă călătoare. Printre modelele matematice considerate este şi aşa-numitul sistem de tip FitzHugh-Nagumo “cu prag mic de reacţie”, mai precis
Este bine ştiut că
în cazul soluţiilor de tip undă călătoare apar
două regiuni (“panta” de urcare şi cea de
coborâre) unde variabila “rapidă” îsi
modifică abrupt starea de la factor stimulator al sistemului la factor
stimulat şi viceversa. Aceste
două regiuni au aceeaşi “viteză de propagare”. Luând
în considerare acest fapt se construieşte o soluţie de tip undă
călătoare pentru problema (1) determinându-se şi viteza
ei de propagare dată de formula
O altă problemă considerată este cea a modelelor de tip
parabolic-degenerat ce descriu diverse fenomene chemotactice. Un prim model
studiat este o versiune particulară a modelului matematic propus de E.
Keller şi L.A. Segel cu un termen adiţional de reacţie ce
apare în prima ecuaţie a sistemului:
Acest model a fost propus pentru a descrie
fenomenul de agregare
spaţială a unui organism celular în direcţia zonelor de
concentraţie maximă a unei substanţe chimice. Variabila Cele mai multe rezultate pentru astfel de
modele matematice se referă la problema existenţei globale versus
“explozia” în timp finit. Ambele comportări ale sistemului depind de
datele iniţiale şi de dimensiunea spaţiului. Sistemul (1) s-a studiat în ipotezele Rezultatele
obţinute în cadrul acestui proiect se referă la
existenţa globală a soluţiilor clasice în cazul
2-dimensional precum şi comportarea asimptotică a acestora.
Menţionăm aici aceste rezultate: Teorema 1. Fie Teorema 2. Dacă există o constantă
unde am notat Teorema 3.
Dacă există o
unde am notat Rezultate
similare s-au obţinut şi pentru alte clase de sisteme de tip parabolic
sau parabolic-degenerat în cazurile 2 sau 3-dimensional şi
urmează a fi publicate. Bibliografie: lucrari publicate sau in curs de publicare: 1. V.Barbu, I.Lasiecka, R.Triggiani, Tangential boundary stabilization of Navier Stokes equations, Memoirs American Mathematical Society, vol 181, 2006, 128 p. 2. V.Barbu, I.Lasiecka, R.Triggiani, Abstract settings for tangential boundary stabilization of Navier-Stokes equations by high and low-gain feedback controllers, Nonlinear Analysis, 64 (2006), 2704-2746. 3. V.Barbu, Vl. Bogachev,G.Da Prato,Weak solutions to the stochastic porous medium equations:the degenerate case, J.Functional Analysis, 237(2006), 379-398. 4. V.Barbu, G.Da Prato, M.Roeckner, Existence and uniqueness of nonnegative solutions to the stochastic porous media equations, Indiana Univ.Mathematical Journal 57(1),2008, 187-211 5. V.Barbu, G.Da Prato, M.Roeckner, Stochastic porous media equations and self-organized criticality, Comm.Math.Physics, trimisa spre publicare. 6. V. Barbu,G. Da Prato, The Kolmogorov equation for a 2-D Navier-Stokes stochastic flow in a channel, Nonlinear Analysis, Theory Methods and Applications,69 (2008), 940-949. 7. V. Barbu, D.Coca,Y.Yan, Internal optimal controller synthesis for Navier-Stokes equations, Numerical Funct.Anal.Optimization, 29(2008),225-242. 8. V. Barbu,Z.Grujick, I.Lasiecka, I.Tuffa, Smoothness of weak solutions to a nonlinear fluid-structure interaction model, Indiana Univ.Mathematics Journal, 57(3),(2008), 1173-1207. 9. V. Barbu,G.Da Prato, The generator of the transition semigroup corresponding to a stochastic variational inequality, Comm.Partial Differential Equatoions, 33(2008), 1318-1338. 10. B.Ainseba, S.Anita, Internal nonnegative stabilization for some parabolic equations, Communications on Pure and Applied Analysis, 7 (2008), 491-512 11. S.Anita, M.Langlais, Stabilization strategies for some reaction-diffusion systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications, acceptata spre publicare. 12. S.Anita, W.-E.Fitzgibbon, M.Langlais, Global existence and internal stabilization for a reaction-diffusion system posed on noncoincident spatial domains, Discrete and Continuous Dynamical Systems – B, trimisa spre publicare. 13. V.Arnautu, J.Sprekels, D.Tiba, Optimization problems for curved mechanical structures, SIAM J. Control and Optimization, 44/2 (2005), 743-775. 14. V.Arnautu, J.Sprekels, D.Tiba, A reduction approximation method for curved rods, Numerical Functional Analysis and Optimization, 26/2 (2005), 139-155. 15. O.Carja, On the minimum energy problem for a semilinear control problem in Hilbert spaces, in Mathematical Analysis and Applications (C.P. Niculescu, V. Radulescu, eds.), AIP Conference Proceedings 835, p. 37-47, 2005. 16. O.Carja, M.Necula, I.I.Vrabie, Necessary and sufficient conditions for viability for semilinear differential inclusions, Trans. Amer. Math. Soc., postata pe site la adresa: http://www.ams.org/journals/tran/0000-000-00/ 17.
O.Carja,
M.Necula, I.I.Vrabie, Invariance for single-valued perturbed
fully nonlinear evolutions, Analele
Universitatii de Vest din 18. O.Carja, M.Necula, I.I.Vrabie, Orthogonal Solutions for a Hyperbolic System Bul. Acad. Sci. Moldova, (56) , 2008, 125-130. 19. O.Carja, M.Necula, I.I.Vrabie, Tangent Sets, Viability for Differential Inclusions and Applications, One hour invited lecture at WCNA 2008, July 2-9, 2008, Orlando, Florida, trimisa spre publicare in Nonlinear Analysis. 20. O.Carja, M.Necula, I.Vrabie, Viability, Invariance and Applications, Elsevier, North-Holland Mathematical Studies 207, 2007, ISBN 978 0 444 52761 5. 21. O.Carja, M.Necula, I.Vrabie, Necessary and sufficient conditions for viability for nonlinear evolution inclusions, Set-Valued Analysis, , (2007), doi: 10.1007/s11228-007-0063-7. 22. M.Durea, Scalarization for pointwise well-posed vectorial problems, Mathematical Methods of Operations Research, 66 (2007), 409-418 23. M.Durea, Calculus of the Bouligand derivative of set-valued maps in Banach spaces, Nonlinear Functional Analysis and Applications, acceptata 24. M. Ait Mansour, M. Durea, M. Thera, A lower semicontinuous regularization for set-valued mappings and its applications, Journal of Convex Analysis, 15 (2008), 437-484. 25. V.Barbu, T.Havarneanu, C.Popa, S. S.Sritharan, Local exact controllability for the magnetohydrodynamic equations, revisited, Adv. Differential Equations, 10 (2005), 481-504. 26. T.Havarneanu, C.Popa, S. S.Sritharan, Exact controllability for the three-dimensional Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions, Indiana University Math. J., 54 (2005), 1303-1350. 27. T.Havarneanu, C.Popa, S.S.Sritharan, Exact internal controllability for the magnetohydrodynamic equations in multi-connected domains, Adv. Differential Equations, 11 (2006), 893-929. 28. T. Havarneanu, C. Popa, S.S. Sritharan, Exact internal controllability for the two dimensional magnetohydrodynamic equations, SIAM Journal on Control and Optimization, 46 (5) (2007), 1802-1830. 29. T. Havarneanu, C. Popa, S.S. Sritharan, Exact controllability for the two-dimensional Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions, Systems and Control Letters, 55 (12) (2006), 1022-1028. 30. A.Rascanu, L.Maticiuc, Viability of moving sets for a nonlinear Neumann problem, Nonlinear Analysis; Theory, Methods and Applications, 7 (2007), 1587-1599. 31. A.Rascanu, L.Maticiuc, Backward stochastic generalized variational inequality, Applied Analysis and Differential Equations (O.Carja, I.Vrabie, eds.), World Scientific Pub Co Inc, 2007/10, p. 217-226. 32. A.Rascanu, L.Maticiuc, Stochastic approach for a multivalued Dirichlet-Neumann problem, Journal of Differential Equations, trimisa spre publicare. 33. I.Vrabie, A viability result for a class of ordinary differential equations in Banach spaces, Mathematical Analysis and Applications, American Institute of Physics Conference Proceedings, 837 (C. P.Niculescu, V. Radulescu, eds.), 2006, p. 143-157. 34. M.Necula, I.Vrabie, A viability result for a class of fully nonlinear reaction-diffusion systems, Nonlinear Anal., 69 (2008), 1732-1743. 35. J.P.Penot, C.Zalinescu, On the convergence of maximal monotone operators, Proceedings of the American Mathematical Society, 134/ 7, 1937-1946. 36. M. Voisei, C. Zalinescu, Strongly representable monotone operators, http:// arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0802/0802.3640v1.pdf, trimisa spre publicare la revista Journal of Convex Analysis. 37. L. Maticiuc, A. Rascanu, A. Zalinescu, Backward stochastic variational inequalities under weak assumptions on the data, http://arxiv.org/PScache/arxiv/pdf/0808/0808.0801v1.pdf 38. G. Marinoschi, Nonlinear diffusion equations with discontinuous coefficients in porous media, In: Progress in Nonlinear Analysis Research (Ed. Erik T. Hoffmann), pp. 213-245, Nova Science Publishers, in press, 2008. 39. Cornelia Ciutureanu, Gabriela Marinoschi, Convergence of a finite difference scheme for a fast diffusion equation in porous media, trimisa la Numerical Functional Analysis and Optimization, 2008. 40. Angelo Favini, Gabriela Marinoschi, Existence for a degenerate parabolic problem with a nonlinear operator, Journal of Evolution Equations, 7, 743-764, 2007. 41. Angelo Favini, Gabriela Marinoschi, Periodic behavior for a degenerate fast diffusion equation, trimisa la Journal of mathematical Analysis and Applications, 2008. 42. Gabriela Marinoschi, Well-posedness for a non-autonomous model of fast diffusion, Applied Analysis and Differential Equations (Editors: Ovidiu Carja, Ioan I. Vrabie), 199- 216, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-594-5. 43. Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Well-posedness for a hyperbolic-parabolic Cauchy problem arising in population dynamics, 2008, Differential and Integral Equations, in press. 44. Carlos Castro, Sorin Micu şi Arnaud Munch, Numerical approximation of the boundary control of the 2-D wave equation with mixed finite element, IMA J. Numerical Analysis 28, 186−214, 2008. 45. Sorin Micu, Uniform boundary controllability of the semi-discrete 1-D wave equation with vanishing viscosity, acceptat SIAM J. Cont. Opt. 46. Sorin Micu, Jaime Ortega, Ademir Pazoto, On the controllability of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations, acceptat Communications in Contemporary Mathematics. 47. Sorin Micu, Jaime Ortega, Lionel Rosier, Bing-Yu Zhang, On the controllability of a family of Boussinesq systems, acceptat Continuous and Discrete Dynamical Systems. 48.
Sorin Micu, On the Approximation of the
Boundary Control of the Wave Equation with Numerical Viscosity,
Proceedings of the European Control Conference 2007, Kos 49. Mihai Mihailescu and Constantin P. Niculescu, An extension of the Hermite-Hadamard Inequality through subharmonic functions, Glasgow Math. J. 49 (2007), 509-514. 50. Constantin Buşe and Constantin P. Niculescu, A condition of uniform exponential stability for semigroups, Math. Inequal. Appl. 11 (2008) No. 3, 529-536. 51. Constantin Buşe and Constantin P. Niculescu, An ergodic characterization of uniformly exponentially stable evolution families, Bull. Soc. Sci. Math. Roum. 51 (99), no. 4, 2008. 52. Constantin P. Niculescu, An overview of absolute continuity and its applications, vol. Inequalities and Applications (Proceedings of the Conference in Inequalities and Applications '07). International Series of Numerical Mathematics, vol. 157, pp. 201-214, Birkhäuser-Verlag, 2008. 53. Constantin P. Niculescu, The Krein-Milman Theorem in Global NPC Spaces, Bull. Soc. Sci. Math. Roum. 50 (98), no. 4, 2007. 54.
Constantin P.
Niculescu, An Invitation to Convex
Functions Theory, 65 pp. In vol. Order
Structures in Functional Analysis (R. Cristescu ed.), pp. 67-132, Ed.
Academiei, 55. Constantin P. Niculescu, The Hermite-Hadamard inequality for convex functions on a global NPC space, submitted. 56. Mihai Mihailescu, Vicenţiu Radulescu, A multiplicity result for a nonlinear degenerate problem arising in the theory of electrorheological fluids, Proc. R. Soc. A (2006) 462, 2625–2641. 57. Mihai Mihailescu, Vicenţiu Radulescu, Existence and multiplicity of solutions for quasilinear nonhomogeneous problems: An Orlicz–Sobolev space setting, J. Math. Anal. Appl. 330 (2007) 416–432. 58. Vicentiu Radulescu, Singular phenomena in nonlinear elliptic problems. From blow-up boundary solutions to equations with singular nonlinearities, in Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, vol. 4 (Michel Chipot, Editor), 2007, 483-591. 59. Vicentiu Radulescu and Claude Vallee, An infinite dimensional version of the Schur convexity property and applications, Analysis and Applications, 5 (2007), 123-136. 60. Mihai Mihailescu, Vicenţiu Radulescu, A continuous spectrum for nonhomogeneous differential operators in Orlicz-Sobolev spaces, Mathematics Scandinavica, sub tipar. 61. Vicenţiu Radulescu, D. Repovs, Perturbation effects in nonlinear eigenvalue problems, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, sub tipar. 62. C. Ursescu, Local uniform linear openness of multifunctions and calculus of Bouligand - Severi and Clarke tangent sets, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol. 12, No. 9, December 2008. 63. G. Liţcanu, J.J.L. Velázquez, Dynamics of propagation phenomena in biological pattern formation, Math. Mod. Nat. Phen., Vol. 1, No. 1, 101-121, (2006). Modul de atribuire si exploatare a drepturilor de
proprietate
Pentru lucrările deja publicate sau in curs de publicare drepturile
de autor sunt cedate editorului, iar pentru preprinturi şi pentru
lucrările comunicate la conferinţe şi nepublicate, dreptul de
autor aparţine autorului. Elemente de dezvoltare economica
Impact economic si social: -
mentinerea si extinderea colaborarilor
europene si atragerea cercetarii romanesti in circuitul mondial de valori -
introducerea unor domenii noi de instruire
a studentilor care sa le permita sa faca fata noilor provocari de pe piata
muncii -
imbunatatirea actului de predare si
instruire in activitatea didactica -
reducerea
emigrarii inteligentei romanesti prin includerea in proiect a unor doctoranzi
si masteranzi . |
reprezinta densitatea de rapitori care traiesc in habitatul
, iar 
densitatea prazii, care traieste in habitatul 
;
este functia caracteristica a multimii 
.
(x,v) =(f,v)
pentru
.
. Presupunem că
. Atunci
. Dupa rezultatul determinist obtinut in 2007 s-a obtinut
un rezultat de existenta si unicitate pentru ecuatis diferentiala stohastica
.
, unde 
. Se demonstreaza ca daca 
T ) 
un semigrup
exponential marginit de operatori
lineari si continui pe spatial Banach E.
Atunci T este exponenţial stabil dacă şi numai dacă există
un număr 
astfel
încât 
pe 
din RN
şi 
, putem alege ponderea 
,
, pe 
a functiei explicite
si 
, stabileste relatia de incluziune de tip Lyusternik
; 
-tangentiale, in punctual 
de multimea de nivel 
, multifunctie asociata dupa o regula foarte simpla a lui
Aubin, si anume
daca pentru fiecare vecinatate 
a punctului 
exista o vecinatate 
a punctului 
. Multifunctia 
daca este deschisa in orice punct 
. Notiunea clasica de multifunctie deschisa poate fi
redefinita astfel: multifunctia 
.
inseamna ca pentru fiecare anturaj 
. Rafinarea de care am amintit apare in cazul deshiderii
multifunctiei 
. In acest caz, pentru fiecare punct 
si pentru fiecare anturaj 
. 
. Rafinarea suplimentara consta in considerarea incluziunii
particulare 
. Pe aceasta particularitate se bazeaza notiunile, definite
si studiate pentru prima oara, de deschidere liniara int-un punct, uniform
deschidere liniara pe o multime, precum si local uniform deschidere liniara.
Utilitatea lor consta in deducerea incluziunilor tangente mentionate precum
si in faptul ca sunt indeplinite de operatorii integrali care furnizeaza
solutiile unei ecuatii diferentiale. Legatura acestor notiuni cu notiunile
metrice de regularitate, fundamentate pe principiul essential metric al
luiEkeland, completeaza studiul publicat.
Ω
pentru orice x
atunci
